16 
Traité des Orbites des Planètes. 
les courbes de M. Poincaré, de la propriété d’avoir une infinité de points 
d’intersection. Cherchons à les déterminer. # 
Dans ce but, concevons deux points de la courbe dont les longitudes 
diffèrent, l’une de l’autre, d’un nombre entier de circonférences. En dé 
signant ces longitudes par v kl et v lk , k et l étant deux entiers quelconques 
dont la différence sera d , de sorte qu’on ait: 
k — l =d, 
et par V ld , la valeur de v k l ou de v l k qui subsistent lorsque k ou l est 
égal à zéro, on aura: 
v kJ = 2k?r -fi V Ld ; v uk = 2ÏTT + V Ld . 
Puis, pour établir l’égalité entre les rayons vecteurs appartenant aux longi 
tudes signalées, ce qui est nécessaire pour déterminer un point d’intersection, 
il faut qu’on ait: 
(i — ç)v k l — F = 2 llTT + (i — ç)v Lk ± F, 
h étant une troisième entière prise à volonté. 
Par les relations établies, on obtient: 
TT J J T 
2 (k±l)T+(l + l)V, d (i + = — , 
d’où il est immédiatement visible qu’il faut prendre les signes supérieurs. 
Cela posé, nous aurons: 
Avec cette valeur, il sera facile d’arriver aux expressions: 
(i — ç)v kA — F= [h + d( i —ç)]tt, 
(i — cK* — = \h — d( i — c)]tt; 
donc, si l’on admet h égal à k + /, il viendra: