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Traité des Orbites des Planètes. 
fonctions W, et j'obtiendrai en même temps une nouvelle méthode d’évaluer 
les fonctions tp' n . in , ce qui pourra être de quelque intérêt théorique. 
69. En se rappelant l’origine des fonctions W m , on s’aperçoit sans 
peine du fait que les coefficients numériques des fonctions U„, entrant 
dans les divers W m , ne sont aucunement dépendants de la nature de la 
fonction ii, pourvu qu’elle soit une fonction liolomorphe de cos H. C’est 
tout le contraire: chaque fonction de cos II qui se développe dans une 
série de la forme (19), peut aussi être représentée moyennant un développe 
ment de la forme (33). Les entiers figurant comme coefficients des divers 
développements dont il s’agit maintenant, restent constamment les mêmes, 
seulement les U n changent. Par cette remarque, on obtiendra les entiers 
demandés en développant une fonction quelconque de cos H, ce qui donne 
lieu à considérer une fonction dont le développement s’opère d’une ma 
nière aussi facile que possible. 
Dans ce but, supposons que la fonction ii ait la forme assez simple: 
Q = {1 — 2/3 cos H -f- / 9 2 }“ 1 ; 
alors, les fonctions U n seront données moyennant la formule générale 
D’autre part, si nous posons 
W -- 
1 1 m 
la fonction ¿2 sera représentée moyennant la formule (33). 
Maintenant, si nous admettons le développement 
(35) W m = W[ m) + 2 W[ m) cos w -f- 2 W\ m) cos 2w -f- . . . , 
U m = 
fi* 
1 -/P 
(2/9)* 
(1 — 2/3 cos w + ¡3‘ i ) m+l ’ 
les coefficients W^ m) étant des fonctions de nombres entiers et des fonctions 
U n , nous aurons généralement: 
Wi m) =( 2fiy 
(m+ i)(m + 2)...(w + v) a , m +1 (m+i)(m + 2)...(ra + v+ 1 ) +2 
1.2...V 
P'Æ 
1 . 2 ... 0 + 1 ; 
'P 
+ 
(m+ 1 )(m + 2)(m+ i)(m + 2)...(m + v + 2 ) 
I.2...(v + 2) 
1.2