Première Partie. Livre III.
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Le calcul d’après cette formule est généralement moins aisé, mais on
peut la remplacer par une fraction continue servant à calculer, de proche
en proche, les rapports de deux transcendantes consécutives.
En introduisant les notations
2 n + I
2 ïl —(— 2 — 2lï — S + 3 ) ’
fn =« 5
2 n — s + 4 j ,
2 n + T~ +
on obtiendra de la relation signalée celle-ci:
I = ÏÏ n + \
qui s’écrit aussi de la manière suivante:
n
n
I
1 fn , %t + 1
De cette formule découle immédiatement la fraction continue que voici:
e. =
fn
I -
fn + v — 1
I fn-\-v^n-\-v f 1
dont l’application numérique est souvent très avantageuse. On peut encore
y remarquer que, pour de grandes valeurs de n , tend vers la limite i +a 2 .
C’est là l’algorithme introduit par Hansen qui s’est servi, d’ailleurs,
dans le cas où la fraction" mentionnée cesse de converger suffisamment,
des recherches de Gtauss sur la série hypergéométrique.
A peine est-il nécessaire de rappeler que quelquesunes des transcendantes
s’expriment, d’une manière très simple, moyennant les intégrales ellip-
Traité des orbites absolues. 5 l