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Traité des Orbites des Planètes. 
Il s'entend d'abord, en comparant ces expressions avec celles que nous 
venons de signaler un peu plus haut, qu’on a: 
e = « 1? 9 , 
2ld — 2î[(Aj X)V + b 1 
6] + log 
i + i tang U 
i — i tang U ’ 
= 2^[(A 1 — X)v + b l — ô] + 2ÌU. 
Maintenant, pour déterminer les deux fonctions ?9 et U ) considérons 
les relations 
? 9 2 = (i + ^) 2 + Y\ 
U — arc tang ———, 
I -J- 2 Î. 
Y 
= arc sin . 
v/( i + X ) 2 + Y 2 
Par la première de ces expressions, il est visible que la fonction # 2 
oscille entre une valeur minima qui est, abstraction faite du cas spécial 
où l’on a: 
1 — a 2 + a 3 + • ‘ • , 
nécessairement positive, et une valeur maxima également positive. 
Désignons la première de ces valeurs par g x , et la seconde par g^ ; 
et posons: 
# 2 = ^ feh + 9 \) + g — 9 \) Y r , 
W étant une fonction dont la valeur n'excède jamais les limites — i et -f-1. 
En mettant finalement: 
9, — 9x = 2 P \ 
9 2 + 9i 1 + ’ 
nous aurons: 
(' 4 ) 
,r- 
9 2 + 9x 
2(1 
I + 2 pW+f}. 
Puisque le coefficient fi est, excepté dans le cas spécial déjà mentionné, 
moindre que l’unité, il s’ensuit de la formule trouvée qu’on peut développer