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Denn setzt man v — — w, 0, -f- w, so wird
f{a -f n — 1 • w) — a — ß + y
f[a + nw) = «
f[a + n + 1 • w) = a + ß + y,
daraus folgt
« = /*(« + Mif)
2 ß = f(a + nw) — f(a + n — 1 • w) -f- /’(a + w- + 1 • w)
— f(a + mw)
2y = f{a + n + 1 • w) — f[a + nw) — + H
+ /■(« + w — 1 • w)).
Bequemer werden die Ausdrücke, wenn man die Differenzen
der Funktionswerte einführt. Setzt man
f[a + n + 1 • w) — f [a + nw) — f'(a + n + | •«;)
/'(« + rc+7- w) — /■'(« + n-\-w) = n® + u.s.w.,
so wird
2 ß = f'(a + n — £ • «;) + f' [a + n + ^ • w)
2 y = f"[a + nw).
Es ist daher für x — a + + v
f(x) = f(a + nw )+i (f {a + n — \ • w) + f (a + w ■+ £ • w))
+i n«+(-^) 2 >
welche Formel für v = — w, 0 und -+- w vollkommen richtig ist.
Allein auch für jeden, zwischen a + n — | • w und
a + w + £ • w hegenden Wert von x läßt sich f[x) durch
diese Formel mit großer Genauigkeit darstellen, wenn die
Werte f(a), f(a-\-w),..f(a-\-nw) näherungsweise als
Glieder einer arithmetischen Reihe zweiter Ordnung be
trachtet werden können.
II. Es sei nun das Integral ff[x)dx zwischen den
Grenzen a -f- ^ w und a -f- n + | • w zu finden.