Zweiter Abschnitt.
Beziehungen zwischen mehreren Orten in der Bahn.
5.
Hilfssätze: Bedeuten A, B, C drei beliebige Winkel, so ist
I. sin A sin [B — C) + sin B sin (C — A) + sin C sin(A— B) = 0,
II. cos A sin (B— C) -f-cos B sin (C— A) -j- cos Csin {A — B) = 0,
wie man durch Entwicklung von sin ( B — C) ... unmittelbar
findet.
6 .
Es seien r, v\ r', v' die Polarkoordinaten zweier Orte
eines Himmelskörpers in der Balm, t die Zeit, welche der
selbe braucht, um vom ersten Ort zum zweiten zu gelangen;
aus r, /, v' — v, t die Elemente des Planeten in der Bahn
zu bestimmen.
I. Für die Ellipse.
Aus den Gleichungen
Vr sin ^ v — Va (1 + e) sin | E
Vr cos v — Va (1 — e) cos \ E
V/ sin ^v' = Va( 1 + ß) sin^E'
Vr’ cos \v' = Va (1 — e) cos | E'
folgt
( 1 )
Vrr' sin -} 2 v cos \v' = a Vl — e 2 sin \ E cos £ E'
Vrr' cos \ v sin^V = aV 1 — e 2 cos \E sin \E'
Vrr' sin sin v' = a (1 -f- e) sin £ E sin £ E'
Vrr' cos ^ v cos | v' = a (1 — e) cos | E cos ^ E '.
Setzt man Kürze halber v' — v = 2 f : E' — E — 2g, E' -f- E
= 2 G, so erhält man aus den Gleichungen (1) durch Sub
traktion der beiden ersteren und Addition der beiden letzteren