iter Abhandlung: 
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Entwicklungen über projective Maassbestiiimiimgen. SB 
holische, parabolische und elliptische vor, dagegen fehlen die loxodromischen. 
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ntwicklungen die 
mdamentale degli 
fangs das nicht- 
lirt: 
Mau folgert dies aus den 1. c. entwickelten Formeln am einfachsten 
aus dem Umstande, dass die fraglichen ^-Substitutionen reelle Coeffi- 
cienten einer positiven Determinante haben. Doch würde man auch 
auf die Thatsache zurückgehen können, dass die reelle £-Axe stets 
Bahncurve für eine Substitution unserer Art ist, und dass kreisförmige 
• • -j" Xn = № • 
(oder im besonderen Falle geradlinige) Bahncurven nur bei den uicht- 
loxodromischen Substitutionen eintreteu. 
adezu das hyper- 
hier nicht weiter 
eine stereogra- 
Indem wir jetzt die geometrischen Vorstellungen aus der £-Ebeue 
in die projective Ebene übertragen, werden die dort eintretenden Ver 
hältnisse in gewisser Hinsicht reichhaltiger. Die beiden £-Halbebenen 
gehen in das doppelt-bedeckte Ellipseninnere über; der ausserhalb der 
sr projectiven 
Ellipse gelegene Teil der projectiven Ebene, der doch auch an den Colli- 
neationen teilnimmt, kommt hier hinzu, und also gewinnt das geometrische 
Bild der Bewegung eine entsprechende Enveiterung. Es ist für die spä 
teren Untersuchungen nötig, auch in der projectiven Ebene den Verlauf 
der Bahncurven und Niveaulinien für die Substitutionen stets anschaulich 
vor Augen zu haben; es sollen demnach die dreierlei Arten der gegen 
wärtig in Betracht kommenden Substitutionen in diesem Sinne hier 
plexen Veränder- 
ifficienteu haben 
letrische Theorie 
le „Bewegungen“ 
i die zugehörigen 
ch war daselbst 
itinuierliche Be 
behandelt werden. Dabei werden die entsprechenden auf die Ebene 
der Kreis Verwandtschaften bezüglichen Entwicklungen aus „M.“ I 
pg. 165 ff. als bekannt angesehen. In der That gehen die dort mit 
geteilten Figuren 40 u. s. w. durch das vorhin pg. 24 angedeutete Pro- 
jectionsverfahren in die sogleich zu besprechenden Figuren 3 u. s. w. 
über. Freilich gewinnt man dabei direct nur erst eine Anschauung 
der im Ellipseninnern eintretendeu Verhältnisse; indes liefert die pro 
jective Auffassung der im Eiuzelfall vorliegenden Collineationen jedes 
rn reeller Coeffi- 
für die positive 
im übertragenen 
direct mit den 
>olischen Maass 
mal das allgemeine Bild. 
1) Eine hyperbolische Substitution hat in der projectiven Ebene 
ausserhalb des absoluten Kegelschnitts f zz = 0 einen Fixpunkt P. Zwei 
weitere Fixpunkte werden vom Schnitt der Polare von P in Bezug 
auf f zz = 0 mit diesem Kegelschnitt geliefert. Nur diese beiden letz 
teren Fixpunkte, die auf der Ellipse f zz = 0 selbst gelegen sind, 
in „M.“ I pg. 1G4 
parabolischen und 
gen hier wieder 
jtitutionen, ivelche 
ommen nur hyper- 
kommen in der £-Ebene zur Geltung und liegen dort, wie es sein muss, 
auf der reellen Axe. Die Niveaulinien werden durch das Büschel der 
Geraden durch P geliefert, wie in Figur 3 (pg. 34) angedeutet ist. 
Wollte man im Sinne der Maassbestimmung äquidistante Niveaulinien 
zeichnen, so würden sich dieselben für das Auge gegen die beiden 
Ellipsentangenten von P beiderseits mehr und mehr zusammendrängeu, 
wie die Figur veranschaulicht. Die Bahncurven werden von den Kegel 
schnitten geliefert, welche die absolute Ellipse f zz = 0 in den beiden 
Pricke-Klein, Automorphe Functionen. I. 3