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§ 13] Abstand eines Punktes von den Punkten einer einfachen Linie. 251 
a) Vorerst gibt es in (AB) stets ein Segment (ÄB') [welches auch mit 
{AB) zusammenfallen kann] derart, dass {BÄ) = a, {BB') = ß und für seine 
übrigen Punkte X das Segment {BX) grösser als a und kleiner als ß ist. 
Es ist nicht möglich, dass jeder Abstand {B,X) von {A'B'), der grösser als 
a ist, auch grösser als y sei, der Unterschied zwischen {BX) und {BÄ) wäre 
sonst immer grösser als ein gegebener Abstand, d. h. als y — a, was dem 
Satz IV widerspricht. Ebenso ist es nicht möglich, dass jeder Abstand {BX), 
der kleiner als ß ist, auch kleiner als y sei. 
b) Wir wollen alle Punkte X von {ÄB'), für welche {BX) grösser als 
a und kleiner als y ist, betrachten. Wenn wir die Punkte X in der Richtung 
von {AB) ordnen, so kann die entsprechende Reihe {BX) keinen grössten 
Werth {B X,) haben, weil zwischen diesem und y wie zwischen ä und B' 
immer wenigstens ein Segment läge, welches grösser als dieser grösste Werth 
und kleiner als y wäre (a) und mithin der obigen Gruppe angehörte. 
Wir können ferner annehmen, eine Reihe {X lt ) von Punkten X sei in der 
Richtung von (ÄB') derart gegeben, dass, wenn {A'X n ) > {A'X rr ), auch 
{BX,) > {BX m ) ist. 
Denn in dem Segment {X m B') existirt ein Segment {X' m B') derart, dass 
nur für den Punkt X' m allein {BX'„) {IIX m ) ist, während für jeden andern 
Punkt X n von (X m B') der Abstand grösser als {BX„) ist (Satz YI). Die 
Reihe (A'X n ) in der Richtung von {ÄB') geordnet hat einen Grenzpunkt Y 
(Satz III), für welchen {BY) grösser als jeder Zustand von {BX n ) ist, weil 
sonst Y, wenn {B Y) <C {BXJ- 1 ) wäre, der obigen Construction zuwider nicht 
in dem Segment {X H m B') läge. Es kann auch nicht {BY) < y sein, weil Y 
sonst ein Punkt X wäre und mithin in einem Segment {ÄX„) läge, {BY) 
kann aber auch nicht grösser als y sein, weil sonst die Differenz zwischen 
{BY) und {BX) stets grösser als {BY) — y wäre, was nicht der Fall ist 
(Def. I, § 12 und Zus. Satz IY). 
Damit ist der Satz vollständig bewiesen. 
Satz VIII. Wenn gegeben ist eine Punktreihe (X,) in einem Segment {AB) 
einer einfachen Linie und ein Punkt B, 'welcher mit den Punkten von {AB) eine 
Grade bestimmt, und wenn alsdann die Beihe der Segmente (BX,) ein Grenz 
segment hat, so hat die Beihe (X n ) auf der Linie einen Grenzpunkt L derart, 
dass {BL) das Grenzsegment von {II X n ) ist. 
Wenn die Reihe {BX n ) ein Grenzsegment im Sinn der Def. I, § 12 hat, 
dann besteht {X n ) nicht aus einer endlichen Anzahl von Punkten und mithin 
hat {X n ) einen Grenzpunkt L auf der Linie (Satz III). Folglich ist {BL) das 
Grenzsegment der Reihe {IiX n ) (Satz IY und Satz III, § 12). x ) 
x ) Legt man Ax. II zu Gfrunde, so muss man hier wenigstens die obigen Sätze für die 
Grade geben, lässt dagegen Def. I und die Sätze, welche die einfache Linie betreffen, aus. 
Bei Ax. II' bringt man diesen Abschnitt nicht hier, sondern beweist die obigen Sätze 
für die Grade wie für den Kreisumfang erst, nachdem man den Kreisumfang definirt hat, 
aber auch nicht später, damit man die Eigenschaften, welche die Durchschnittspunkte einer 
Graden mit einem Kreisumfang und zweier Kreisumfänge betreffen, in aller Strenge be 
weisen kann. Siehe Anm. LVII.