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Methode der kleinsten Quadrate.
gen = a = a' = a" = a'" u. s.
w.; so hat man also für x die n Glei
chungen (B e d i n g u n g s g l e i ch u n g e n,
wie der Begriff in diesem Artikel definirt
ist) x = a, x = a', x — a", x =
a'" , oder x—a — o , x — a' = o
». s. w. (eine Gestalt, welche ich densel
ben des gleich Folgenden wegen gebe);
— und nimmt demnach für x ganz na
türlich das „arithmetische Mittel"
a + a' -|- a" -f- a“ 1 ....
n
Dieses Verfahren ist in der Natur der
Sache selbst begründet, wird schon vom
Jnstinct des gemeinen Menschenverstan
des, welcher gleich eine Fehl er-Com-,
pensation ahnt, als das w a h r sch e i n-
lich-richtigste anerkannt, und führt
auch, wie die Erfahrung lehrt, insge
mein zu dem sichersten Resultate. — Mit
i h m also haben wir es bevorwortcter-
maßen zu thun.
Hier ist jedoch, wie man sieht, nur
von der Ableitung E i n er Unbekannten,
aus mehreren für dieselbe gefundenen,
unter sich verschiedenen Beobachtungswer
then, die Rede, aus welchen Fall das
vorgeschriebene Verfahren eine so leichte
Anwendung findet; — nun haben wir
aber im eben citirten Art. Bedin
gungsgleichungen die mannichfa-
chen andern Fälle kennen gelernt, in de
nen der Astronom aus einer grossen An
zahl solcher, unter sich nicht übereinstim
menden Gleichungen mit zwei, drei
u. s. w. Unbekannten, die Mittel
werthe für jede einzelne dieser,
gleichwohl nur in V e r b i n d u n g ge
gebenen Unbekannten, abgesondert heraus
finden soll. Seyen (vergl. die vorausge
hende Anmerk.), in einem solchen ein
fachsten Falle, z. B. für die nur zwei
Unbekannten x, y bte drei (unter sich
nicht übereinstimmenden) Gleichungen x
+ y = a> X + y = a', x + y =
a" *, d. h. wieder des Folgenden wegen,
x + y —a — 0 u. s. w. gegeben; so
daraus auf
(
3 3 —f— 34 —I— 35
3
48° 12' 34" festgesetzt wurde.
Ich bereite darauf vor, daß ich statt
kann ich daraus wohl das arithmetische
Mittel für die Summe der beiden
Unbekannten, aber nicht für eine
jede einzelne von ihnen herleiten.
— Wie ist also dann zu dieser letzte
ren Sonderung zu gelangen? wie das
Verfahren des „arithmetischen Mittels",
unserer Eingangs aufgestellten Forderung
gemäß, auf di e se n Fall auszudehnen? —
und dieß ist unsere eigentlich e Frage.
Auf den dazu anzuwendenden Kunstgriff
ist man durch die Bemerkung einer, dem
„arithmetischen Mittel" beiwoh
nenden merkwürdigen Eigenschaft geleitet
worden. Wir hatten oben, in einem Bei
spiele, welches ich hier nochmals benützen
wollte, für die drei Gleichungen x — a
x — a' = o x — a" — o j die
numerischen (Messungs-) Werthe a —
33, a' = 34, a" — 35 gefunden, und
33 + 34 + 35
3
daraus x —
— 34
bestimmt. Substituirt man hiernächst die
sen arithmetischen M i t t e l w e r t h
in die obigen drei „Bedingungsgleichun
gen", d. h. setzt man für x, 34, und für
a, a', a" successiv 33, 34, 35, so wer
den diese Gleichungen dadurch freilich
nicht sämmtlich — o, sondern man er
hält vielmehr 34 — 33 — 1 , 34— 34
— 0, 34— 35 —— 1, welche, solcher
gestalt entstehenden Differenzen wir mit
d, d', d" bezeichnen wollen; aber es er
gibt sich, daß die Summe der Qua
drate^' dieser Differenzen, d 2
+ d ' 2 + d" 2 , dieser „Fehle r" (ich
sage so, indem, wenn man allemal ganz
richtig gemessen hätte, offenbar gar
keine Differenzen Statt finden könnten,
wie man leicht einsteht, bei ihrer Ver
einigung, zu bloß identischen Glei
chungen führen wurden, unten die Un
bekannten in ähnlicher Art mit C»ef
ficiente» verbinden muß, wie Dieß
im eben allegirten Art. B e d i n g u n g S-
gleichungen geschieht
* Ich brauche wohl kaum daran zu erin
nern, daß die Erhebung auf eine ge
rade Potenz, wie oben auf das Qua
drat, das Negative positiv macht:
— 1 . — 1 (s. das gleich Folgende) ist
— + l 2 . — Leser, die diesen Umstand,
dieser, hier nur zur beßren Uebersicht
gewählten einfachsten Ausdrücke, welche,
welchen ich hier bloß algebraisch gel
tend mache, für die Theorie unserer Me-
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