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Methode der kleinsten Quadrate.
das arithmetische
me der beiden
er nicht für eine
n ihnen herleiten,
i n zu dieser letzte-
langen? wie das
netischen Mittels",
estellten Forderung
ll auszudehnen? —
gentlich e Frage,
endenden Kunstgriff
lerkung einer, dem
Mittel" beiwoh-
Eigenschaft geleitet
den, in einem Bei-
nochmals benützen
Gleichungen x — a
X — a" — o , die
s-) Werthe a —
- 35 gefunden, und
f + A 5 = 34
man hiernächst die
lt Mittelwerth
Zedingungsgleichun-
für x, 34, und für
i, 34, 35, so wer-
t dadurch freilich
, sondern man er-
3 — 1 , 34— 34
- 1 , welche, solcher-
»ifferenzen wir mit
wollen; aber es er«
umme der Qua-
)ifferenzen, d 2
ser „Fehler" (ich
man allemal ganz
tte, offenbar gar
tatt finden könnten,
eht, bei ihrer Ver-
identischen Glei«
den, unten die lln-
cher Art mit Coef-
den muß, wie Dieß
Art. B e d i n g u » g S-
)ieht
kaum daran zu crin-
cbung auf eine g e-
oben auf daö Q u a»
ve positiv macht:
gleich Folgende) ist
, die diesen Umstand,
1 algebraisch gel-
Theorie unserer Me-
d. h. x dann immer denselben glei
chen Werth hatte haben müssen), wenn
also auch nicht ganz — 0 , doch wenig
stens kle in er ist, als wenn für x ir
gend ein anderer Werth angenommen
worden wäre, oder, daß diese Summe
der Fehl er quadrate, wie sich die
Analysis ausdrückt, ein Kleinstes",
ein „ Minimum " wird. Wirklich gibt
in unserm numerischen Beispiele, ans wel
ches ich zunächst hindeute, jede andere,
statt (des arithmetischen Mittels) 34, sub
stituirte Zahl eine solche größere Summe
jener „Fehlerquadrate": die, bei Anwen
dung der „arithmetischen Mittel-
zah l" 34 für x, herauskommende Summe
tfi l 2 -j— 0 2 -j- l 2 = 2 ; nimmt man,
statt 34, die Zahl 33, so ergeben sich
die Differenzen (die „Fehler") 33 — 33
— 0, 33-34= — 1,33-35 —— 2,
also die Summe ** der Fehlerquadrate —
0 2 4~ l 2 -f- 2 2 schon — 5 5 und wenn
meine Leser nun ferner etwann die Zahl
34,5 oder, wie gesagt, jede andere anwen
den, so werden Sie immer einen größe
ren Werth der gedachten Summe finden.
Um aber den solchergestalt nachgewiese
nen Zusammenhang zwischen dem „arith
metisch e n Mittel" und der „S umme
der Quadrate" der bei seiner An
wendung noch übrig bleibenden „Feh
ler", als den entscheidenden Punct, so
dann erst noch weiter nachzuweisen, wollen
thvde weiter verfolgen wollen, verweise
ich auf Gauß viel citirte „Theoria
motus corporum coelestium“. S. 221 ;
i ch muß mich bemühen, ohne gleich tief
sinnige analytische Erörterungen zu Stande
zukommen: mein Hauptzweck ist durch
gängige größtmögliche Popula
rität.
* Von diesem Umstande führt die Metlivde,
wie ich gleich hervorhebe, eben den Na
men der „Methode der kleinsten
Quadrate", welcher Name sonst be
fremden konnte.
** Ich bitte wohl z» merken „die S n m m e" ;
nicht einzelne Quadrate, für welche
sich die Sache, wie man auch sieht, an
ders verhalten kann. Bo» dieser „S u ni
ni e« muß auch die Neve seyn, da sich
die Betrachtung auf alle (auf die S u m-!
me der) BeobachtungSwcrthe, nicht auf
einen etiizellien, beziehen soll.
wir diesen Zusammenhang, auch mit An
wendung auf die obigen allgemeinen
Ausdrücke x — a — 0 , x — a' — 0 ,
x — a" — 0 , x — a'" — 0 darthun:
wir haben gesehen, daß die Substitution
des arithmetischen Mittels für x in jene
Beoingungsgleichungen zur Folge hatte,
daß d 2 4 - d ' 2 4 - u. s. w. oder, da d
— x — a, d' — x— a' u. s. w., (x—
a) 2 4“ ( x — a 0 2 4- (x—a") 2 4~ (x
_ a /,/)2 — Minimo wurde; ich werde
jetzt zeigen, daß, wenn man vielmehr,
letztere Consequenz zur Präliminär-Bc-
vingung macht, daraus, umgekehrt, für
x der Werth des arithmetischen Mittels
folgt.
In der That leitet die Analysis, wie
ich als bekannt voraussetzen muß, auS
der obigen Forderung:
(x — a) 2 4* (x — a') 2 4" (x — a") 2 4"
(x — a'") 2 = Minimo, die Gleichung
2 (x — a) dx 4~ 2 (x — a') dx -f-
2 (x — a") dx -j- 2 (x — a"ch dx — 0
ab, woraus, auf den ersten Blick, wie
oben,
_ B -f- + a" 4-
d. i., welches ich beweisen wollte, x —
dem arithmetischen Mittel, kömmt*. —
Es steht also hiernach allgemein fest, daß
man, um das arithmetische Mittel für
die Unbekannte zu finden, statt des oben
dazu vorgeschriebenen unmittelbaren Ver
fahrens, auch nur den Bedingungsglei-
chcn X — a, x = a' u. s. w. die, deß
halb gleich vorn angewendete Form x
— a — 0, X — rC — 0 u. s. w., in
welcher sie die Fehler d, d' ausdrücken,
geben, diese respectiven Fehler in das
Quadrat (x — a) 2 , (x —a^ 2 .... erhe
ben , und deren Summe (x — a) 2 4*
(x —a') 2 gleich Minimo setzen darf;
— und dieses Verfahren zur Erlan
gung des arithmetischen Mittels läßt sich
nun, wohin wir eben wollten, auch auf
* Man macht mich darauf aufmerksam, daß
dieser so einfache und so schöne Beweis,
dessen Ehre ich mir bis seht allein bei-
gemessen hatte, schon vor mir von dem
bekannten Französischen Geometer L e-
gcn dre in seiner ,, Nouvelle Méthode
pour la détermination des orbites
des Comètes“. Paris. 1806. gr. 4.
S. 75- gegeben worden ist.