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Methode der kleinsten Quadrate.
die Bedingungsgleichungen mit mehre
ren Unbekannten, für welche das ge
wöhnliche Verfahren, angeführterma-
ßcn, nicht mehr zureicht, zur Darstellung
des arithmetischen Mittelwerthcs jeder
einzelnen dieser mehreren Unbekann
ten anwenden. Seyen also, zum Nach
weise dafür, gleich wieder die drei, un
ter einander nicht concordirenden, nu
merischen Bedingungsgleichungen mit nun
mehrigen zwei Unbekannten (und in
welchen Gleichungen ich, zur Vermeidung
bloß identischer Schlußausdrücke, be-
vorwortetermaßen', Coefficienten habe mit
auftreten lassen müssen):
X 4~ y — 4,
2x 4- y — 7,
x + 3y = 12*,
gewählt; so gebe ich ihnen, wie oben
zunächst die Gestalt:
X —f- y — 4 =0,
2x + y — 7 =0,
x -f- 3 y— 12 = 0/
in welcher sie eben die Differenzen, die
„Fehler" ausdrücken, deren Quadrate sum-
mirt und, solchergestalt summirt, als ein
Minimum behandelt werden sollen, er
hebe ste demgemäß auf das Quadrat,
und setze sodann diese „Summe der Feh
lerquadrate" (x -s- y — 4) 2 4- (2 x +
y-7) 2 4- (x + 3 y-12) 2 = Mi
nimo. Die Analysis schreibt aber, wie
ich wieder als bekannt annehmen muß,
zur Behandlung einer solchen Glei
chung mit zwei Unbekannten nun wei
ter vor, den Ausdruck successiv in Be
zug auf die eine und dann auf die an
* Ich entnehme diese 3 „Bedingungk-
g lei chungen", über deren Entstehung
unter dieser oder einer ähnlichen Form
ich übrigens nochmals auf den genann
ten Artikel verweise, aus meiner Jnau-
gural-Dissertativn über den vorliegenden
Gegenstand: „Betrachtungen über
die Methode der kleinsten Qua
drate". Görlitz. 1820. 8. S. 3. flgd.
dere Unbekannte zu diffcrentiiren, und
jedes der dabei herauskommenden beiden
Differentiale für sich — 0 zu setzen, welches
2 (x 4- y-4) clx 4- 2 (2 x -\- y
— 7) 2 dx 4- 2 (x 4- 3 y-12) dx
= 0, und 2 (x j~ y — 4) dy 4" 2
(2 X 4- y-7) dy 4- 2 (x 4- 3 y-
12 ) 3 dy = 0, oder, nach der Réduction,
6 x -s- 6 y —30 — 0 , und
6 x 4~ 11 y — 47 = 0*,
also jetzt nur noch so viel Gleichun
gen als Unbekannte gibt, welche
Wirkung des angewendeten Verfahrens
ich alsbald ganz besonders hervorhebe.
Denn nach dieser solchergestalt bewirkten
Vereinigung der gegebenen mehreren Be-
oingungsgleichnngen in nur eben noch so
viele Finalgleichungen, als gerade auch
Unbekannte vorhanden sind, hat die
Ableitung der letzteren, durch das ge
wöhnliche Eliminationsverfahren, keine
Schwierigkeiten mehr, wie man denn
mit Einem Blicke auf unser Beispiel sieht,
daß x daraus — 1 3 /s, und y — 3 2 /s
kommt.
Die Formation der zur Ableitung d i c»
se r respective» numerischen Werthe von
x und y angewendeten beiden Finalglei«
chungen ist nun aber, wie ich so sorg»
faltig bemerkt habe, zugleich nur unter
ver Bedingung des „arithmetischen
Mittels" für jeden jener beiden
Werthe bewirkt worden, für welches arith»
'» Das DarstellungSgeseh dieser Final-Glei-
chungen läßt sich auch durch die Vor
schrift ausdrücken: alle Glieder je
der der ursprünglichen Glei»
chungen successiv durch den
Coefficienten der betreffenden
Unbekannten in ihr, mit sei
nem Zeichen genommen, z » m u l-
t i p li c i r e n, d i e S u m m e n d e r P ro
dn c t e z u m a ch e n , u n d j e d e die
ser S u m m e n = 0 z n setzen. Mul-
tiplicirt man, dieser Vorschrift gemäß,
in der That, z. B. in unseren 3 Glei
chungen :
x 4- y — 4 = 0,
2x4- y— 7 — 0 ,
x 4- 3y — 12 = 0,
in der ersten und dritten mit I, und
in der zweiten mit 2, als den jedes
maligen Coefficienten von x, so wird
erhalten:
x 4- y — 4 = 0,
4x 4" 2y — 14 = 0,
x 4~ 3y — 12 = 0 ,
woraus, wie im Texte . . . 6x 4“ 6y — 30 = 0
kommt.; — und in dieser Art wird, wie ich an einem hinten folgenden zweiten