i U Methode der kleinsten Quadrate.
gungSgleichnngen man ihr auf Einmal unterwirft, demgemäß man also von ihr
in allen Fallen die sicherste Auskunft zu erwarten hat.
Um jedoch auch für diese Ausdehnung auf dergleichen Fälle mit mehr als
zwei Unbekannten, ein Beispiel beizubringen, welches ich außerdem in noch ande
rer Absicht schon vorn versprochen hatte, wähle ich ein solches aus Gauß bereits
oben citirter Theoria motus corporum coelestium“. S. 219. welches Er dort
selbst mit den Worten einleitet: ,,Ut disquisitiones praecedentes per exemplum
illustrentur, supponamus, per observationes, in quibus (man Vergl. die dieß-
fallsige, gleich Eingangs gemachte Bevorwortuug) praecisio aequalis praesumenda
sit, inventum esse“:
p — q-f- 2 f — 3 = 0,
3 P+ 2q - 5 r - 5=0,
4 p+ q + 4 r — 21 = 0,
— p -j- 3 q -j— 3 r — 14 = : 0 J
so multiplicirt man also, unserer oben ertheilten Vorschrift gemäß, zuerst mit
dem Coesficienten von p, mit seinem Zeichen genommen, in jeder
Gleichung jedes Glied derselben, und erhält auf diese Weise die vier Ausdrücke:
durch deren Summtrungk P — q-f- 2 r — 3 = 0,1 Auf die nämliche Weise
die erste der drei, hier! 9 p 6 q — 15 r — 15 = 0,(werden, successiv mit den
für drei Unbekannte ml6 p + 4 q + 16 r — 84 = 0,?Coefficicnten von q und
formircndcn Finalglci-k p''— 3q — 3 r -f- 14 — 0,y multiplicirend n. dann
chnngen erhalten wird . 27 p -f- 6 q „ — 88 = 0 . ^""mircnd,
die beiden andern Fi
nalgleichungen . . 6p-f-15q+ r — 70 = 0,
und „ q -J-54 r — 107 = 0 gebildet.
Mit jener ersten Glei
chung : 27 p -f- 6 q „ —88 = 0 verbinde man
hieruächst, der Elimina
tion wegen, die dritte,
nachdem man sie mit — 6
multiplicirt hat ...» — 6q—324 r -f- 642 = 0, woraus durch
Addition kommt . . .~TT . . . 7“. . . . 27p-324r4-554=0.
Sodann verbinde man mit
der zweiten Gleichung: 6 p -f- 15 q -f- r — 70 = 0 ,
* Der Coefficient vvn p ist hier nâinlich
— 1, nus welchen llnistand ich bei der
Wahl des Beispiels besvnders mit Rück-
stcht genommen habe. — Ich finde indctz,
mas b tese Art der Bildu » g der Fi-
n a lg le i ch u n g e n betrifft, angemesse»,
auch nvch hinzuzufûgen, mie sich La-
place im „Lssai philosophique sur
les Probabilités“ (4te An fl. Paris.
1819.) darûber auSdrückt. „Si l’on a
un grand nombre d’équations de con
ditions“, Heitzt es daselbfi, S. 94. und
99. „on les combine de manière à
obtenir autant d’équations finales qu’il
y a d’inconnues ; mais quelle est la
manière la plus avantageuse de cette
combinaison? La condition du mi-\
nimum de la somme des carrés des
erreurs détermine le système des
coefficiens qu’il faut adopter pour
cet effet : on forme une première
equation finale , en multipliant cha
que terme de chaque équation de con
dition par le coefficient de la pre
mière inconnue dans cette équation,
pris avec son signe, et en réunis
sant toutes ces équations ainsi mul
tipliées ; on forme une seconde équa
tion finale , en employant de même
les coefficiens de la seconde incon
nue; — et ainsi de suite“. Dietz
ist aber ebe» die ini Texte vvn uns ge-
gebene »»d, in afleni Detail, ans der
Bedingung des „Minimums" fur die
„S u m m e d e r F e h l e r q u a d r a t e" ab-
geleitete Regel.