Zusammensetzung der Kräfte re. 769 
jungen der Kräfte F und U stehen, nach 
obigem Satze 
P : Q = CE : CD. 
Da man jede Kraft, ohne die Wirkung 
derselben zu ändern, an einem beliebigen, 
in ihrer Richtung liegenden Punct ange 
bracht denken kann, so wollen wir den 
Punct M, wo sich die Richtungen der bei 
den Kräfte P, Q schneid'en, zum gemein 
schaftlichen Angriffspuncte dieser Kräfte 
nehmen, und uns demgemäß die letztern, 
als an M unmittelbar wirkend, vorstel 
len. Die Richtung der mittlern Kraft 
muß nun, indem, vorausgesetztermaßen, 
Gleichgewicht herrschen soll, durch den 
festen Punct 6 gehen, oder es muß M C 
die mittlere Richtung seyn, nach 
welcher die Kräfte P, Q einen Druck auf 
0 ausüben. 
Um diese Richtung näher zu bestimmen, 
ziehe man die Geraden C T, CV resp. 
parallel mit M B und MA, so ist Wink. 
CTD= ®. T M E = 2B. c V E, und 
es sind mithin die beiden rechtwinkligen 
Dreiecke CDT, CVE einander ähnlich, 
woraus die Proportion 
CV:CT = CE:CD oder da 6V 
s MT, CT — MV, 
M T: M V = C E : C D, t>. $. nach oben 
MT:MV= P : Q folgt. 
Wenn man also auf den Richtungen 
zweier Kräfte P, Q, von dem Puncte M, 
wo sie einander schneiden, an, zwei Li 
nien M T, M V nimmt, die sich wie jene 
Kräfte P, Q, verhalten, und das Paral 
lelogramm M T C V unter diesen Linien 
ergänzt, so stellt die Diagonale M C die 
mittlere Richtung vor, oder die bei 
den Kräfte P, Q nach den Richtungen 
IMA, MB, werden zusammen den Punct 
M genau eben so sollicitircn, wie eine 
einzige Kraft, welche auf ihn nach der 
Richtung M C wirkte. 
Es bleibt nun noch zu beweisen, 
daß diese mittlere, nach M C wirkende 
Kraft, auch der Größe nach der Dia 
gonale M C proportional seyn müsse, oder 
daß sie sich zu den beiden Seitenkräften 
wie MO zu M T und M V verhalte. 
Diesen Beweis führt Kästner auf fol 
gende Art: 
An dem Körper M (Fig. 6 der Tafel 
XX.VII) wirken wiederum zwei Kräfte, 
deren Richtungen und Größen durch die 
li. 
Geraden M 1, MV ausgedrückt werden; 
dann gibt nach dem Vorhergehenden die 
Diagonale MO die Richtung der 
m i t t lern Kraft an. Man sucht nun 
die Größe dieser nach MO gerichteten 
Kraft, welche Größe wir — x setzen 
wollen. 
Man denke sich die Verlängerung von 
CM als einen Faden in der Richtung 
Mc, so wird an diesem Faden eine Kraft 
nach Me ziehen können. Nun nehnie 
man diese letztere Kraft der Resultirendcn 
der beiden Kräfte M T und MV der 
Größe nach gleich, also ebenfalls 
— x, der Richtung nach aber entge 
gengesetzt an. Dann wird, da jetzt 
zwei gleiche Kräfte (x) nach entgegenge- 
setzten Richtungen am Puncte M wirken, 
Gleichgewicht herrschen, d. h. die beiden 
Kräfte MT, MV, und die (der Größe 
nach noch unbekannte) Kraft x in der 
Richtung M c erhalten einander an M 
im Gleichgewicht. Man kann daher auch 
x und M T als zwei Seite nkräfte 
ansehen, denen eine mittlere Kraft 
entspricht, die mit MV im Gleichgewichte 
steht, folglich MV (gleich und) gerade 
entgegengesetzt seyn muß *. Verlängert 
man demnach MV rückwärts oder 
nach M u hin, so erhält man die Rich 
tung dieser mittlern Kraft, welche an 
dererseits nach dem vorher Bewiesenen 
zugleich die Richtung der Diagonale des 
aus den Seitenkräften x und M T ge 
bildeten Parallelogramms McuT (wo 
jedoch die Länge der Geraden Mc = x 
noch unbekannt ist) abgibt. Betrach 
tet man aber die beiden Dreiecke MOV 
und Icu, so ist in selben c u = M T 
— OV, W. MVO — W. Muc (als 
Wcchselwinkel zwischen Parallelen), W. 
CMV — W. cMu (als Scheitelwin 
kel) ; mithin sind die genannten Dreiecke 
congruent und M u = MV, Mc — 
MC = x, Es stellt daher die Diago 
nale MO nicht nur die Richtung, son 
dern auch die Größe der mittlern Kraft, 
die den beiden Seitenkräften MT, MV 
* ES ist nämlich offenbar, daß. wenn drei 
(oder auch beliebig viele, u) Kräfte im 
Gleichgewichte stehen, die Nefulrirende 
von zweien (oder n — 1) derselben der 
dritte» (der nken) Kraft gleich und ge 
rade entgegeugel'etzl seyn must. 
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