Olbers an Gauss. Bremen, 1812 April 5. 
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Gleichungen taugt durchaus nicht, auch wenn man von der Bedingung 
der Summe der kleinsten Quadrate abstrahiren will. Sie verstösst näm 
lich gegen den Hauptgrundsatz, der mir bei Auflösung solcher Glei 
chungen nothwendig zu beobachten scheint, dass nämlich in jeder Glei 
chung z. B. 
n -j- a p b q etc. = 0 
n' -f- a'p -f- b’q etc. = 0 
die unbekannten Grössen p, q etc. um so genauer gefunden werden, je 
grösser der Koefficient a, a', h, b' etc., womit sie multiplicirt sind, ist, 
Wenn nämlich die Versuche oder Beobb., wovon jene Gleichungen die 
Folgen sind, einen wahrscheinlich gleichen Grad von Genauigkeit haben, 
so ist der wahrscheinliche Fehler von p aus der ersten Gleichung zu 
dem wahrscheinlichen Fehler von p aus der zweiten Gleichung im um 
gekehrten Verhältniss von a: a\ — Bei der Methode der kleinsten 
Quadrate wird dieser Grundsatz dahin getrieben, dass man hier das 
Verhältniss der wahrscheinlichen Fehler umgekehrt wie a?:a' 2 setzt. 
Ob dies nun immer erlaubt ist, davon bin ich, ich gestehe es, noch 
nicht ganz überzeugt. 
Um mich deutlicher zu erklären, will ich ein ganz einfaches Bei 
spiel wählen. Gesetzt, man wolle den scheinbaren Diameter der Venus 
in der mittleren Distanz der Sonne von der Erde, den ich x nennen 
will, bestimmen. Man habe 3 Messungen. Die erste sei wirklich in 
der Distanz = 1 gemacht, und man habe x = n gefunden. Die andere 
in der Distanz der Venus =\, und hier habe man 2x = ri, die dritte 
in der Distanz der Venus = -J-, und hier finde man 3x — n". Da man, 
nach meiner Voraussetzung, in allen 3 Beobb. dasselbe Instrument und 
dieselbe Aufmerksamkeit angewandt hat, so ist der wahrscheinliche 
Fehler, den man in n, n, n" begangen hat, gleich gross. Sehr unrecht 
würde man also verfahren, wenn man, nach meinem ehemaligen Briefe, 
das Mittel aus diesen 3 Messungen so nähme, dass man 
i n i 
n + ~ö + 
x 
nähme. Denn bei dem Wertlie von x 
ist der wahrscheinliche Fehler 
um die Hälfte, und bei dem x = -^ um -f geringer als bei x — n. Man 
O 
muss also, um den wahrscheinlichsten Werth von x zu erhalten 
n -f- n' -f- n" 
X — 
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setzen. — Löse ich hingegen diese 3 Gleichungen nach der Methode 
der kleinsten Quadrate auf, so setze ich den wahrscheinlichen Fehler