6. Die Methode von. Veithen-Merton (Gauss-Encke).
Sie ist eine Rotationsfläche, deren Symmetrieachse die Gerade Erde —
Sonne ist.
Die Untersuchung dieser Fläche kann auf die der Schnittkurve mit
irgendeiner Ebene durch die Symmetrieachse beschränkt werden.
Gl. (48) stellt dann die Gleichung dieser Meridiankurve in bipolaren
Ebenenkoordinaten dar.
Da dieGrößen £, r] und 1 ein Dreieck bilden, so ist £ + rj > 1, rj +1 > £,
£ + 1 > r\, so daß £ nicht beliebig klein sein kann. Das Minimum erhält
man aus
(£ + i) 2 = £ 2 + § — |
oder aus
3 £ + 4 = J3 also £ m i n = 0.56042566.
Charlier hat die Werte von rj für eine Reihe von Werten von £ gegeben.
Indem man £ alle Werte von £ min bis + 00 erteilt, erhält man die Grenz
fläche, von der eine Schnittkurve in Abb. 12 gegeben ist. Es ist auch
noch ein Schnitt durch die Kugel mit dem Radius R= 1 mit der Sonne
als Mittelpunkt eingezeichnet, um die Gebiete der Doppellösungen zu
trennen. Der Raum bzw. die Schnittebene wird so in 4 Gebiete ab
geteilt :
Gebiet
Ungleichung
£
Zahl der Lösungen
A
ß
< 1
2
B
a
< 1
1
C
a
> 1
2
D
ß
>1
1
In Abb. 12 sind die Gebiete der doppelten Lösung gestrichelt. Bei
der Erde hat die Kurve einen Doppelpunkt. Der Winkel, den die Tan
genten im Doppelpunkt an die Kurve mit der Rotationsachse bilden,
kann folgendermaßen bestimmt werden. Setzt man zum Übergang von
ebenen bipolaren in rechtwinklige Koordinaten mit dem Anfangspunkt
in der Erde rj 2 — x 2 -\-y 2 , £ 2 = (1 — x) 2 y 2 — 1 — 2%-\- x 2 y 2 , so er
hält bei Beschränkung auf quadratische Glieder die Gleichung der Kurve
in unmittelbarer Nähe des Nullpunktes die Form
o = 4 x 2 — y 2 — (2 x—y) (2 x + y).
Aus der Kurve werden hier also zwei Gerade; oder die beiden Tan
genten bilden mit der Geraden Erde—Sonne den Winkel
ar c tg ± 2 = ± 63°4.
Im Gebiete der Doppellösung existiert eine Rotationsfläche, deren
Schnitt Charlier die singuläre Linie nennt. Ihre Gleichung in bipolaren
Koordinaten ist rj 2 — 1 — §£ 2 -f- ■§ £ D . Durch die singuläre Linie sind die
Gebiete der doppelten Lösung A und C in je 2 Teilgebiete A x , A 2 bzw.
Ci, C 2 getrennt. Die Linie enthält die Positionen der Punkte, in denen
Stracke, Bahnbestimmung.
7