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Methoden der ersten Bahnbestimmung.
Der Eliminationsprozeß kann in folgender Weise vor sich gehen.
Um Qi und q 3 zu eliminieren, sei die erste Gleichung mit (tg ßi sin A 3
— tg ß 3 sin Ai), die zweite mit (tg ß 3 cos Ai — tg ß z cos A 3 ), die dritte mit
— sin (A 3 —Ai) multipliziert. Die Summe der 3 Produkte ergibt die
Gleichung
ni Ri [tg ßi sin (A 3 — Li) — tg ß 3 sin (Ai — Li)]
— R 2 [tg ßi sin (A3 — L 2 ) — tg ß 3 sin (Ai — L 2 )]
+ n 3 R 3 [tg ^1 sin (A3 — L 3 ) — tg ß 3 sin (Ai — L 3 )]
— Q2 [tg ßi sin (A 3 — A 2 ) — tg ß 2 sin (A3 — Al) + tg ß 3 sin (A 2 — Al)] = O .
Die Koeffizienten dieser Gleichung lassen sich durch Einführung von
Hilfsgrößen wesentlich verein
fachen. Legt man durch den ersten
und dritten geozentrischen Ort Gi
und G 3 (vgl. Abb. 13) einen größten
Kreis, und bezeichnet man die
Länge seines aufsteigenden Kno
tens mit K 2 , seine Neigung mit / 2
(/ 2 soll <90° und positiv genom
men werden), so ist
tg/ 2 sin(Ai-K 2 )=tg j ö I
tg / 2 sin (A 3 — Kt) — tg ß 3 .
Diese Gleichungen können in folgender Weise nach / 2 und K 2 auf
gelöst werden. Schreibt man die zweite Gleichung
tg /2 sin (Ai — K 2 + A3 — Ai) = tg ß 3
und entwickelt, so erhält man
tg ßi cos (A 3 — Ai) + tg J 2 cos (Ai — K 2 ) sin (A 3 — Ai) = tgß 3 ,
und damit die zur sicheren Bestimmung von J 2 und K 2 geeigneten
Gleichungen
tg/ 2 sin (Ai — K 2 ) = tgß1
tg J 2 cos (Al — K 2 )
tg ß 3 — tg ßi COS (A3 — Al)
sin (A3 — Al)
(5)
Führt man diese Hilfsgrößen in Gl. (3) ein, und beachtet, daß für jeden
Winkel w
sin (Al — K 2 ) sin (A3 — w) — sin (A3 — K 2 ) sin (Al — W)
= sin (A3 — Al) sin (W — K 2 )
ist, so wird
Ul Ri sin (Li — K 2 ) tg/ 2 — R 2 sin (L 2 — K 2 ) tg/ 2
+ n 3 R 3 sin (L 3 — K 2 ) tg J 2 — q 2 [sin (A 2 — K z ) tg / 2 — tg ß 2 ] = o .