7. Die Methode von Gauss-Encke.
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ist, und für welche £ 2 <$2 ist, da nach Gl. (28) sin {d 2 — £2) nicht nega
tiv werden darf. Alle negativen, imaginären und alle positiven Wurzeln,
für welche £ 2 ># 2 ist, scheiden von vornherein aus. Eine Doppellösung
findet statt, wenn die Gl. (31) zwei positive Wurzeln hat, deren jede
<# 2 ist.
Encke hat eine eingehende Diskussion der Gaußschen Gleichung und
ihrer Wurzeln sowie Tafeln gegeben, die den jeweils vorliegenden Fall
rasch erkennen lassen. Hier sollen nur kurz die Resultate seiner Dis
kussion gegeben werden.
Die Gl. (31) kann nur dann eine der Bahn des Körpers entsprechende
Wurzel haben, wenn cf <q' = i 36 0 5242 ist, und m° zwischen den
Grenzen m' und m" liegt. In Tafel 4 sind die Grenzen der drei allein
in Betracht kommenden positiven Wurzeln gegeben. Sie liegen zwischen
I und II, zwischen II und III und zwischen III und IV, und man hat
das Kriterium
Anzahl der
c*
zwischen
Lösungen
zwischen
I und II
0
II
, III
1
I und II
III
, IV
2
I und II, II und III
Von den drei positiven Wurzeln entspricht eine der Erdbahn (r 2 — R 2
oder £2 = , & 2 ) und scheidet aus. Im Falle der doppelten Lösung kann erst
durch weitere Beobachtungen entschieden werden, welches die der
beobachteten Bahn entsprechende Lösung ist.
Die Anwendung der Tafel sei durch ein Beispiel erläutert. Gegeben
sei #2 — I38 o 30 , 55”, 1 gm° =9.90482, q° — — 32°57 , n". lg «° liegt bei
q° = — 32 0 57' 11" innerhalb der durch lg m' und lg m" bezeichneten
Grenzen. Von den drei positiven Wurzeln kann nur die zwischen III und
IV gelegene der Erdbahn entsprechen, da für q = —33 0 die Wurzeln liegen
zwischen 88°54 / und 106° 6'
,, 106 6 ,, 130 54
„ 130 54 „ 138 27.
Es findet hier eine doppelte Lösung statt; für die beiden Wurzeln von
£2 ergeben sich die Werte 94°34'57" bzw. ii8°55'45".
b) Die Auflösung der Gaußschen Gleichung. Die Auflösung kann
leicht durch Versuche erfolgen. Dabei ist vor allem die Beschaffung
eines brauchbaren Näherungswertes anzustreben.
Im halle der Bestimmung einer elliptischen Bahn eines Kometen
ist fast stets ein Näherungswert der Unbekannten aus einer voran
gegangenen parabolischen Bahnbestimmung bekannt. Ist kein solcher
bekannt, so ist bei seiner Wahl zu beachten, daß £ 2 <$2 sein muß.
Handelt es sich um einen Asteroiden in der Nähe der Opposition, so ist
£2 im allgemeinen klein, also sin £* und damit sin (£ 2 — q°) eine kleine
Größe. Jedenfalls darf man q° als einen Näherungswert von £ 2 ansehen.