2 Die heliozentrische und die geozentrische Bewegung. 
im Sinne der Mechanik als materielle Punkte behandeln. Ohne jeden 
meßbaren Einfluß auf die Bewegung der Körper dieses Systems sind 
wegen ihrer äußerst großen Entfernungen die Fixsterne. 
§ i. Die Bewegungsgleichungen. 
Es ist Aufgabe der Bahnbestimmung; aus den durch mehrere Be 
obachtungen bekannt gewordenen scheinbaren Bahnen die Wahren, d. h. 
die Bahnen in bezug auf die Sonne als Zentralkörper, zu ermitteln. Um 
diese relative Bewegung zu untersuchen, liegt es nahe, den Nullpunkt 
des festen Koordinatensystems, das im übrigen noch beliebig orientiert 
werden kann, in den Mittelpunkt der Sonne zu legen. 
Es seien x, y, z, r die rechtwinkligen Koordinaten und der Radius 
vektor des Körpers P. m sei seine Masse in Einheiten der Sonnenmasse, 
die gleich der Einheit gesetzt sei. Für einen zweiten Körper P x seien die 
entsprechenden Größen x x , y z , Zi, r x , nh. Die Differentialgleichungen der 
relativen Bewegung des unter der Einwirkung der Sonne und des Kör 
pers Pr stehenden Körpers P sind dann 
d 2 x , 7 . , , x 
(I + 
== k z nh 
/ Xt — X 
X1 
V~äT7 
y\ 
d 2 v , v 
-35T + Ä> <i + m) 7r 
= k z nh ( 
( yi — y 
\ A\ 
_ ?± 
rl 
d 2 z , , . , . z 
llir+ k2 <! + »») TT 
= k z Wi 
f Zi — z 
\ A\ 
Zi 
rf 
Hierin ist Ai der Abstand der Körper P und Pi voneinander, k die 
Intensität der Anziehungskraft für die Einheit der Zeit, der Länge und 
der Masse. Zwischen den Entfernungen und Koordinaten bestehen die 
Beziehungen 
r 2 = * 2 +y 2 + * 2 r\ = x\+y\+z\ 
A\ = {xi—x) 2 + {yi —y) 2 + (zi —z) 2 . 
In den Gl. (i) ist nur die Einwirkung des Körpers Pi berücksichtigt. 
Für jeden weiteren einwirkenden Körper tritt ein der rechten Seite 
dieser Gleichungen analoges Glied hinzu. 
Die Differentialgleichungen der relativen Bewegung des Körpers Pi 
erhält man, wenn man in den Gl. (i) die mit und ohne den Index i be- 
zeichneten Größen miteinander vertauscht. 
Zur vollständigen Bestimmung der relativen Bewegung der Körper P 
und Pi aus den obigen 3 Differentialgleichungen 2. Ordnung sind 
12 Integrationen auszuführen. Von diesen können 4 Integrale, 3 Flächen 
integrale und das Integral der lebendigen Kraft, gefunden werden. 
H. Bruns hat den Beweis erbracht, daß es aber (in diesem Koordi 
natensystem) nicht möglich ist, die weiteren Integrale in algebraischer 
Form darzustellen.