Methoden der Bahnverbesserung.
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größerem Umfange auf die kleinen Planeten angewendet wird, ist nur
ein Spezialfall der unten erwähnten Methode von Tietjen für ge
nauere Rechnung. Für diese angenäherte Bahn Verbesserung soll nur
die Formelzusammenstellung gegeben werden.
Ist die vorbereitende genäherte Bahnverbesserung, bei der gegebenen
falls in entsprechender Genauigkeit auch die Störungen zu berück
sichtigen sind, abgeschlossen, so geht man an die definitive Bahnver
besserung.
Der Voraussetzung nach stehen die Abweichungen der beobachteten
von den mit den vorläufigen Elementen berechneten Örtern in linearer
Verbindung mit den unbekannten 6 Verbesserungen irgendwelcher 6 Be
stimmungsstücke der Bahn. Aus der Gesamtheit der aus n Beob
achtungenresultierenden 2 n Gleichungen werden die unbekannten Ver
besserungen nach der Methode der kleinsten Quadrate gewonnen. Die
Wahl der Bestimmungsstücke und die Bildung der Differentialquo
tienten der geozentrischen Koordinaten nach jenen ist Sache der be
sonderen Methode.
So wählen z. B. Th. v. Oppolzer und H. Andoyer rechtwinklige
Koordinaten und ihre Geschwindigkeiten, K. Laves die in Abschnitt 3
definierten Größen P s ', Q s ' als Bestimmungsstücke. Banachiewicz gibt
bei Verwendung von 9 Größen P s ', Q s ', R s ' die Lösung in einer Form,
die zwar mit wenigen Zeichen auskommt, die aber während der Rechen
operation zeitraubende Überlegungen erfordert. Am unmittelbarsten
bieten sich als Bestimmungsstücke die Elemente selbst dar, die ungleich
viel charakteristischer sind als alle anderen Größen.
Tietjen erreicht durch geeignete Wahl des Koordinatensystems
eine Trennung der rein elliptischen von den Bahnlageelementen. Statt
der 2n-Gleichungen mit 6 Unbekannten erhält er 2 Gruppen von je
^-Gleichungen mit 4 bzw. 2 Unbekannten. Mit der Trennung wird eine
erhebliche Erleichterung im Ausgleichungsprozeß erzielt. Die Zulässig
keit der Trennung ist um so mehr gesichert, je kleiner die Neigung
der Bahnebene gegen die Ekliptik ist. Für die kleinen Planeten, deren
Neigungen im allgemeinen klein sind, bedeutet die Forderung der kleinen
Neigung praktisch keine Einschränkung.
Von größerer Allgemeingültigkeit ist die schon von Gauss ange
wandte und seitdem am meisten benutzte und bearbeitete Methode der
Variation der Elemente, in der aus 2 n- Gleichungen durch gleichzeitige
Auflösung die 6 unbekannten Elementenverbesserungen bestimmt
werden. Hier wird nur die Verbesserung elliptischer und parabolischer
vorläufiger Elemente behandelt. Von der Wiedergabe des Formel
systems für die Verbesserung parabelnaher Elemente wurde abgesehen,
da diese Aufgabe in der Praxis nur selten gestellt wird.
Selbstverständlich muß man bei der definitiven Bahnbestimmung
sicher sein, daß auch die benutzten Werte der Störungen definitive sind.