Methoden der ersten Bahnbestimmung. 
aufstellen. In den hingeschriebenen Gliedern dieser Potenzreihen treten 
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als Unbekannte r 2 und im 3. Gliede auf. Es wird natürlich das Be 
streben sein, schon die erste Näherung so weit als möglich zu treiben, 
um das Verbesserungsverfahren ganz zu vermeiden, oder doch die 
Zahl der Näherungen zu vermindern. Andrerseits darf aber auch der 
durch die Mitnahme weiterer Glieder bedingte Arbeitsaufwand nicht 
größer sein als der zur Wiederholung von Näherungen notwendige. Oft 
genug reicht schon die erste Näherung aus, um ein für die weitere Ver 
folgung des Objektes ausreichendes Elementensystem abzuleiten. 
Die Mitnahme des 3. Gliedes, das mit multipliziert ist, soll wegen 
der Unmöglichkeit, diesen Differentialquotienten in der ersten Näherung 
streng als Funktion von A 2 zu bestimmen, unterbleiben. Hingegen be 
reitet die Bestimmung von r 2 in dem Gliede 2. Ordnung, das aus dem 
Gliede 3. Ordnung bei den Dreiecksflächen entsteht, als Funktion 
von A 2 keine Schwierigkeit, wie schon gezeigt wurde. In erster Näherung 
'muß man sich mit Gliedern 3. Ordnung in den Dreiecksflächen begnügen. 
Die Mitnahme dieser Glieder ist aber auch notwendig, wie sich aus 
folgender Betrachtung ergibt. 
Die Bestimmung des Parameters des Kegelschnittes hängt nach 
Gl. (2. 8) wesentlich von dem Inhalt des von den 3 Bahnörtern ge 
bildeten Dreiecks ab. Für dieses ergab sich der doppelte Inhalt nach 
Gl. (2. 8). Dieser Ausdruck ist von der 3. Ordnung in bezug auf die 
Zwischenzeiten. Würde man ihn vernachlässigen, so würde sich für 
den Parameter ein unendlich großer Wert ergeben, d. h. der Körper 
würde sich nicht in einem Kegelschnitt, sondern in gerader Linie be 
wegen . 
Wegen der Vernachlässigung der Glieder von höherer als der 3. Ord 
nung muß die erste Näherung notwendig ein fehlerhaftes Resultat er 
geben. Der Fehler ist um so kleiner, je kleiner die Zwischenzeiten, je 
größer die Radienvektoren, und je kleiner die Exzentrizität des Kegel 
schnitts ist. 
Encke berücksichtigt in der ersten Näherung die beiden ersten 
Glieder in Gl. (8) vollständig, d. h. er setzt 
= ^-+fT I r 3 
Ti 
T 2 
t 2 
T 2 
Der Gaußsche Ansatz stimmt mit dem weitergehenden Enckeschen 
nur dann überein, wenn die Zwischenzeiten Ti und r 3 streng einander 
gleich sind. Dieser günstigste Fall wird aber in der Praxis selten oder 
nie eintreffen, wenn man auch bestrebt ist, sich diesem durch geeignete