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Methoden der ersten Bahnbestimmung.
Mit den so gewonnenen verbesserten Werten der ni, n 3 wird das
Formelsystem von Gl. (13) ab erneut durchgerechnet (2. Näherung).
Man erhält verbesserte Werte der y it setzt sie in Gl. (19) ein und prüft,
ob Anfangs- und Endwerte der ni, n 3 der 2. Näherung übereinstimmen.
Ist das nicht der Fall, so ist das Verfahren in 3. Näherung zu wieder
holen. Es ist abgeschlossen, wenn die dynamischen Bedingungen in
Gl. (19) streng erfüllt sind. Die Vergleichung der Anfangs- und
Endwerte der th, n 3 gibt also einen Maßstab für die erreichte Genauig
keit ab.
Herglotz hat durch eine Abschätzung nach Potenzen der Zwischen
zeiten gezeigt, daß der Ansatz in Gl. (21) eine weitgehende Annäherung
ist, indem er die in der 1. Näherung vernachlässigten Glieder höherer
Ordnung in den Entwicklungen für die n-i, n 3 numerisch genähert dar
stellt. Indessen ist eine solche Abschätzung allein nach Potenzen der
Zwischenzeiten nicht umfassend genug, da die Konvergenz auch von
anderen Faktoren (Radienvektoren, Exzentrizität) abhängt.
Auch in der Praxis hat sich die rasche Konvergenz des Gaußschen
Verbesserungsverfahrens in tausendfacher Anwendung bewährt. Hier
kommt man bei den kurzen beobachteten Bögen, wie sie gegenwärtig
häufig sind, sehr oft bereits mit der 1. Näherung zum Ziele, wenn
auch die Resultate der 1. Näherung häufig ohne Berücksichtigung der
Aberrationszeiten ermittelt sind. Indessen ist ihr Einfluß bei so kurzen
Zwischenzeiten meist äußerst gering.
Ist eine Verbesserung nicht mehr notwendig, so kann man mit Ver
wendung der gefundenen Werte der y* sofort den Parameter und das
vollständige Elementensystem ableiten. Das Näherungs verfahren wird
dann ganz ausgeschlossen, und die Methode ist eine direkte.
Mehr als 2 Näherungen sind bei der der Beobachtungsgenauigkeit
angepaßten östelligen Rechnung nur selten notwendig. Stets wird bei
sehr großen Bögen eine provisorische Bahnrechnung aus kürzeren
Bögen vorangegangen sein, die die Hilfsmittel zur Berechnung sehr
nahe richtiger Werte der liefert. Aus diesem Grunde wird auch der
Fall, daß infolge zu großer Bögen oder andrer ungünstiger Umstände
die Konvergenz sehr gering oder gar in Frage gestellt ist, in der Praxis
gar nicht auftreten. Sollte aber tatsächlich die Notwendigkeit weiterer
Näherungs verfahren vorliegen, so wird man zur Abkürzung von der
3. Näherung ab die regula falsi für 2 Unbekannte anwenden, da bei
dieser die Fehlerordnung in geometrischer Reihe abnimmt.
§ 26. Die Ableitung der Elemente.
Ist im Verbesserungsverfahren völlige Übereinstimmung der An
fangs- und Endwerte der n x und n 3 erzielt, und sind damit die end
gültigen Werte der Ai ermittelt, so kann man jetzt auch die endgültigen
Werte der x\, y'i, z\ und daraus die 6 Elemente selbst ableiten.