§. 71. 
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Fig. 49. Man nehme als die Ebene der Pnncte h, c, d und 
parallel der Geraden ab, so dass a“b" = ab. Die im Mittelpuncte 
n des durch b, c, d gehenden Kreises N auf ^ errichtete Normale 
enthält m, es fällt also mf in ri. Der zweite Schnitt E 2 der durch 
ab bestimmten Ebene enthält m“. Der Halbmesser r = mb ist 
Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks m“n"{b) mit der Kathete 
n"(b) — n‘b‘ (1. §. 33). 
Sind die Puncte durch die sechs von je zweien begrenzten Strecken ge 
geben, so zeichne man das Dreieck bcd und projicire auf dessen Ebene den 
vierten Punct a in a‘ mittels Herabschlagens der Dreiecke bca, eda (vergl. 
I. §. 84). 
Sind die Puncte durch ihre Projectionen gegeben, so construire man: 
entweder die Ebenen (5 normal auf ab. A auf hc, © auf cd, jede durch die 
Mitte der entsprechenden Strecke; der Durchschnitt der drei Ebenen ist m; 
oder die Geraden, deren Puncte von a, h, c und von a, b, d gleich weit ab 
stehen; sie schneiden sich in in. 
71. Eine Kugel ist gegeben durch den Halbmesser r und die 
Projectionen m‘, m“ des Mittelpunctesdiese Angaben genügen zur 
Lösung aller über sie zu stellenden Aufgaben. 
Aufgabe, Die Projectionen eines Punctes a der Kugel zu 
geben. 
Fig. so. p)i e e i n e Projection, etwa a\ ist beliebig zu nehmen. Man 
denke dep Kugelkreis N in der durch a parallel mit $ 2 geführten 
Ebene; N 3 liegt in der durch a! parallel mit A gezogenen Geraden, 
der Fusspunct der von m‘ auf N' gefällten Normalen ist ri und 
das rechtwinklige Dreieck m'rik, dessen Hypotenuse m J h-=r, 
giebt in rih den Halbmesser r x = y>2— a 2 . 
N" ist der Kreis zum Halbmesser 1\ , dessen Mittelpunct n u 
in m“ fällt; er schneidet die durch a‘ auf A gefällte Normale in 
a", es giebt also zwei solche Puncte. 
Die Strecke m‘a! (oder w"a") darf nicht grösser als r sein. 
Die Puncte k, für welche m'lc = r, bilden einen Kreis K{, 
innerhalb dessen die ersten Projectionen aller Puncte der Kugel 
liegen. Kl ist die Projection des mit parallelen Hauptkreises 
jK i und dieser der Umriss (I. §. 77) der Kugel für ^ ; K“ ist 
eine Strecke 2 r parallel mit A durch m“ gehend. Eben so ist der 
mit parallele Hauptkreis K 2 der Umriss der Kugel für 
Durch die Projectionen dieser Hauptkreise K t , K 2 wird die 
Kugel ebenfalls gegeben und zugleich eine Darstellung derselben 
erlangt.