CHAPITRE XI. 
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cle sorte qu’avec n -+- 1 valeurs particulières de la fonction fa précision soit la 
même que si l’on avait employé deux fois plus de valeurs dans la méthode de 
Cotes. Il trouve que a ü , ..., a n doivent être les racines de l’équation que l’on 
obtient en égalant à zéro le polynôme X 7i+1 de Legendre. Gauss a donné (1 loc.cit .) 
avec 16 décimales les valeurs numériques des racines des équations X, = o, 
X 2 — o, ..., X c = o, celles des coefficients oc 0 , a,,..., a„, et enfin la valeur du pre 
mier coefficient k {2n+ ' ) qui ne s’annule pas. M. Radau [ Étude sur les formules 
cVapproximation qui servent à calculer la valeur numérique d’une intégrale définie 
(Journal de Mathématiques, 3 e Sér., t. VI)] a étendu les calculs précédents jus- 
La méthode de Gauss, malgré sa supériorité théorique, n’est pas employée 
en Astronomie, parce qu’on vérifie mieux les calculs lorsque la variable indé 
pendante reçoit des valeurs équidistantes, et aussi parce que ce n’est pas géné 
ralement une valeur numérique isolée, mais une série de valeurs d’une intégrale 
qu’il s’agit de calculer. Les formules très simples employées par les astronomes 
fournissent cette série de valeurs sans demander beaucoup plus de calculs que 
s’il n’y en avait qu’une. 
74. Soit proposé de trouver la valeur numérique de l’intégrale X = j f (oc) dx 
entre deux limites données; nous faisons 
(5) x— a -V- n g), 
et nous supposons que les deux limites de l’intégrale rentrent dans l’expression 
précédente, en y faisant n — o et 11 = i. On aura donc 
Nous allons calculer la première de ces intégrales. Nous supposerons qu’on a 
formé le Tableau des valeurs de f(oc) pour les valeurs comprises dans l’expres 
sion (5), quand on attribue à n les valeurs 1, 2, 3, ..., et aussi le Tableau des 
différences successives, comme à la page 155 du Chapitre X. 
Nous remplacerons en outre /(a + nw), pour les valeurs de n comprises 
entre o et 1, par celle que donne T une des formules d’interpolation, par exemple 
la formule (11) du Chapitre précédent. Il faudra développer les coefficients des 
différences suivant les puissances de n, et intégrer entre les limites o et 1. Le 
qu’à X 9 . 
J ' /(a -h /ico) dn; 
0 
i désigne un nombre entier, et l’on peut écrire 
( 6 )