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DEVELOPPEMENTS DES COORDONNÉES. 
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CHAPITRE XXYI. 
SUR LA FORME GÉNÉRALE DES DÉVELOPPEMENTS DES COORDONNÉES DANS 
LE MOUVEMENT DE TROIS CORPS QUI S’ATTIRENT MUTUELLEMENT 
SUIVANT LA LOI DE NEWTON. 
198. Nous jugeons utile de reproduire ici un Mémoire que nous avons inséré 
dans les Annales de VObservatoire cle Paris (t. XVIII, Mémoires). 
Considérons, pour fixer les idées, le mouvement des deux planètes, Jupiter 
et Saturne, soumises à l’attraction du Soleil et à leur attraction mutuelle. Les 
développements pratiques auxquels s’est arrêté Le Verrier, pour les expressions 
des éléments elliptiques variables, contiennent le temps en dehors des signes 
sin et cos, et, par ce fait même, ils ne sauraient convenir pour un intervalle de 
temps illimité; ils sont cependant appropriés aux besoins de l’Astronomie pour 
un intervalle de plusieurs siècles. Mais il est bon de se demander si l’on ne 
pourrait pas obtenir des développements dans lesquels le temps ne sortirait 
jamais des signes sin et cos, comme cela arrive dans la théorie de la Lune de 
Delaunay. 
Cette question a été résolue par M. Newcomb ( Smithsonian Contributions to 
Knowledge, 1874), en employant là méthode de la variation des constantes ar 
bitraires, et plus tard par M. A. Lindstedt ( Annales de l’École Normale, 3 e série, 
t. I, p. 85), qui est arrivé à un théorème nouveau et important; il a pris pour 
point de départ le Mémoire célèbre de Lagrange ( voir t. 1 de cet Ouvrage, Cha 
pitre VIII). En raison de l’importance du sujet, j’ai pensé qu’une autre démon 
stration du théorème deM. Lindstedt pourrait présenter quelque intérêt; celle à 
laquelle je suis arrivé trouve sa base dans le travail bien connu de Jacobi \Surl’é- 
limination des nœuds dans le problème des trois corps (Journal de Liouville, t. IX)]. 
199. Soient 
S, M et M' les trois corps réduits à trois points matériels de masses 1, m et m' ; 
G le centre de gravité de S et M, SM = r, GM' = r' ; 
X, Y, Z, X', Y', Z' les projections de r et r' sur trois axes fixes OX, OY, OZ;