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DÉVELOPPEMENTS DES COORDONNÉES. /|4^ 
En ayant égard aux formules (2'), (8), (9) et (10), on voit que la fonction U 
dépend actuellement de r, r, v, e',/et f ; les quantités i, ï, h et h' ne figurent 
plus dans U ; nous allons profiter de cette circonstance pour simplifier les équa 
tions différentielles du mouvement. 
202. Nous aurons à recourir ici à un Mémoire important de M. Radau, Sur 
une transformation des équations différentielles de la Dynamique (Annales de 
l’École Normale, i re série, t. V), ou mieux encore à un article du même auteur 
inséré dans le Bulletin des Sciences mathématiques, 2 e série, t. Y; 188r), ayant 
pour titre : Travaux concernant le pr'ohléme des trois corps et la théorie des per - 
turbations . 
M. Radau s’est proposé de déduire des équations (Y) les équations différen 
tielles relatives aux variables r, r’, v, v',f,f. En posant 
ch 
P‘ = ^di 
777 ’ Pi 
( 11 ) 
-h 
f? 
2 ]X i 
; ¡j. r 
il est arrivé à ce résultat simple et élégant 
(12) 
dr 
dU, 
dr' 
dU, 
dt 
dpi 1 
dt 
= + M 
dv 
dU, 
dv' 
dU, 
dt 
d/i ’ 
dt 
= " df'i 
dpi ___ 
dU, 
dp\ 
dU, 
dt 
dr ’ 
dt 
dr' 
dfj _ 
d U, 
df'i 
dU, 
dt 
dv 9 
dt 
dv' 
On a donc ainsi un système canonique de huit équations différentielles du 
premier ordre; U, est une fonction des huit variables r, r, p,, p', v, v', f K , f ; 
cette fonction ne renferme pas le temps explicitement, de sorte qu’on déduit 
des équations (12) l’intégrale 
U, = const. 
Nous allons nous placer maintenant plus spécialement au point de vue de 
l’Astronomie; S désignera le Soleil; M et M' seront deux planètes, Jupiter et 
Saturne, par exemple. Les nombres m et m' seront petits, au-dessous de 75V0 ’ 
en nous reportant aux formules (2'), nous verrons que l’on peut écrire 
(i3) 
m m' 
U = 1 + W, 
r r 
T. - IV. 
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