INDICATION DES TRAVAUX DE M. POINCARÉ. 4^7 
réelles et distinctes; pour p. = p. 0 elles se confondent entre elles et avec la so 
lution du premier genre, 
^ = +/(0» /¿=^¿ + ^+2(0; 
pour p.<< p. 0 , elles deviennent imaginaires. 
» Dans certains cas, le contraire peut avoir lieu, et il peut arriver que les deux 
solutions soient réelles pour p. < p. 0 et imaginaires pour u. > p. 0 . » 
211. «Exposants caractéristiques. — Les solutions périodiques semblent 
d’abord sans aucun intérêt pour la pratique. La probabilité pour que les circon 
stances initiales du mouvement soient précisément celles qui correspondent à 
une pareille solution est évidemment nulle. Mais il peut très bien arriver qu’elles 
en diffèrent fort peu; la solution périodique pourra jouer alors le rôle de pre 
mière approximation, d 'orbite intermédiaire ( 1 ). Il peut donc y avoir intérêt à 
étudier les solutions qui diffèrent peu d’une solution périodique. Voici comment 
on opérera : 
» Considérons une solution peu différente et posons 
Xi = Cfi (t) + liy y t — Hi t + <?/+, ( t) + Y);. 
» Si les et Y); sont des quantités assez petites pour qu’on puisse en négliger 
les carrés, les équations différentielles (i) deviendront 
dlj _ y d 2 F y d 2 F 
dt ~ 2d dy t dx k ^ 2d àfi dfk 71/0 
dru y (? 2 F j. y d 2 F 
dt 2d ÔXidXic C - k 2d dXidjk^ 
h k 
» Dans les dérivées secondes de F qui figurent dans les équations (2), on doit 
remplacer x t par 9 ¿(t) et y t par 9/ +a (^); les coefficients de et de r\ k 
dans les seconds membres de ces équations (2) sont donc des fonctions pério 
diques données de t. 
» L’intégrale générale des équations (2) s’écrit ( 2 ) 
b =AE ai s i - + BE- ai s; + (c + iD)S'f+DS 7 , ) ._ i 
r\j — AE ai T, -t- BE~ ai TÎ -t- (C -1- ¿D)T/+ DT"' i 
A, B, C, D sont quatre constantes d’intégration ; a est une constante non arbi 
(!) Pour employer le langage de M. Gyldén. 
( 2 ) En verlu des théories connues concernant l’intégration d’un système d’équations différentielles 
linéaires sans seconds membres, à coefficients périodiques.