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— Das Problem der kürzesten Dämmerung. — 477 
Co v, = Si <jp • Si p — Co (jp-Cop-Cos, Co«-Cov 2 ==Si<p-Si p — Co<p • Co p • Co s 2 4 
0 = Si (/> • Co p + Co qp • Si p • Co s, — Si« = Si qp • Co p + Co <p • Si p • Co s ä 5 
Si cp — Si p • Co v, Si qp = — Co p • Si« + Si p • Co u • Co v 2 €* 
und aus den 5 gehen unmittelbar die 1 hervor, nach welchen sich z. B. für 
U = 18° und 9) = 47° 23', je nachdem d = 23° 27', 15°, 0 oder — 23° 27', 
die Dämmerungsdauer 3 h ll m , 2 h 8 m , l h 49 m oder l h 58 m ergiebt. — b. Aus 
den 1 erhält man mit Hilfe der 3 und 6 durch Differentiation 
ds, 
Ct v, 
und 
<ls 2 
dp 
Ct V., 
Sip“ 
so dass 
d(s 2 —s,) Ctv, — CtVo 
dp Sip dp Sip dp Sip 
wird, folglich für v, — v, das Minimum der Dämmerungsdauer eintritt. Setzt 
man aber die aus den 6 folgenden Werte von Co v, und Co v 2 einander gleich, 
so erhält man die 2'', und, wenn man mit Hilfe der 3 und 4 den Wert von 
V* [1 — Co (s 2 —sj] berechnet, dann v, = v. 2 setzt, und schliesslich mit Hilfe 
von G' die V[ eliminiert, auch noch 2'. Nach den 2 ergeben sich aber für 
unser Beispiel s. 2 — s, = l h 40 m und d = — G° 41', welche Deklination der 
Sonne etwa III 3 und X 9 zukömmt. Natürlich würden für ein etwas anderes « 
auch andere Werte erhalten, und wenn « sogar (223) an demselben Orte für 
Morgen und Abend, sowie während des Jahres merklich variieren sollte, so 
würde dadurch natürlich das ganze Problem auf eine wesentlich andere Basis 
gestellt. Anhangsweise ist zu erwähnen, dass für V[ = v 2 aus den 3 auch 
Si s 2 = Si s, • Co u und Si w t = Si w 2 oder w, + w 2 = 180 0 J 
folgen. — Die Dämmerungsverhältnisse wurden schon durch Pedro Nunnez 
oder Nonius (Alcazar de Sal 1492 — Coimbra 1577; Prof, matli. Coimbra) in 
der bereits (223) erwähnten Schrift von 1542 ins Auge gefasst und auch speciell 
das eben behandelte Problem durch geometrische Betrachtungen bis zu einem 
gewissen Grade absolviert, — während dagegen die elegante 2' erst 1693 
durch Joh. Bernoulli gefunden wurde, und zwar, wie er selbst (Opera I 64) 
eingestand, erst nachdem sich er und sein Bruder Jakob „depuis plus de cinq 
ans, saus en pouvoir venir ä bout“ mit der Lösung dieser Aufgabe befasst 
hatten. Noch seither haben viele Mathematiker dieselbe Aufgabe an die Hand 
genommen, so z. B. Lambert (Photometria 1760, wo die 7 zuerst Vorkommen), 
Euler (Nov. Comm. XX von 1776), Cagnoli (Encyclop. metli. 1786), Fuss (Berl. 
Jahrb. 1787), Monge (vgl. Note von Hachette in Corresp. sur l’ecole polyt. 
Nro. 5 von 1806, und Zelbr in A. N. 2575 und 2602 von 1884; konstruktive 
Lösung), E. Schmidt (Math. Geogr. 1829), d’Arrest (A. N. 1085 von 1857; 
Avesentlich mit der oben gegebenen Lösung übereinstimmend), Stoll (Z. f. M. Ph. 
1883, wo die Aufgabe etwas allgemeiner gestellt und rein trigonometrisch 
gelöst ist), etc. 
£35. Die Witternngserscheinungen im allgemeinen.— 
Jede Stelle unserer Erde erhält beständig Wärme, sei es durch 
direkte Einwirkung der Sonne, sei es durch Mitteilung der um 
gebenden Luft, — giebt aber auch beständig Wärme ab, teils an 
die auf ihr liegende Luftschichte, teils durch Strahlung an den 
Weltraum. Je nach dem Wechsel der Tages- und Jahreszeit und 
der Beschaffenheit der Atmosphäre ist bald der Wärmegewinn, bald 
der Wärmeverlust grösser, und da dieses Verhältnis gleichzeitig 
für verschiedene Stellen der Erde teils wegen der Verschiedenheit