Für eine Oberfläche , die durch die Rotation irgend einer
krummen Linie um die Axe der x entstanden ist, ist die Glei
chung der Oberfläche
(« =. cp (r, X) = o
wo r 5 = y 5 -f- z 2 oder
r d r = ydy-f-z dz,
und daraus folgt,
also wird die erste der Gleichungen I.
z d.
dy
d s
yd
d 7.
ds
= o
deren Integral, für d s = Const.
z dy — ydz = Ads - - - (III.)
wo A die Constante der Integration ist. Diese Gleichung III.
mit der gegebenen Gleichung
<p (r, x) = o
reicht hin , die gesuchte kürzeste Linie zu bestimmen.
11 . Man könnte dieselben Gleichungen noch einfacher durch
folgende Betrachtungen finden. Die geodätische Linie ist nach dem
Vorhergehenden einerley mit der, welche ein auf der gegebe
nen Oberfläche zwischen den beyden Punkten frey gespann
ter Faden beschreiben würde. Der Faden ist aber dann frey
gespannt, oder alle seine Punkte sind dann unter einander im
Gleichgewicht, wenn der Druck, welchen die Spannung auf
die Oberfläche ausübt, in allen Punkten des Fadens senkrecht
auf diese Oberfläche ausgeübt wird. Dieser Druck hat aber be
kanntlich immer in der Ebene des Krümmungshalbmessers statt:
also ist die kürzeste Linie auf einer Fläche die , deren Krüm
mungshalbmesser alle auf dieser Fläche senkrecht stehen.
Ist also
K = cp (x y z) — o
die Gleichung der Fläche , und
x -f Ay -f Bz — o
die Gleichung der Ebene der Krümmungshalbmesser, so ist die
Gleichung der die Fläche berührenden Ebene