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Ist e die Basis der natürlichen Logarithmen, und der Kürze 
wegen 
a — i 
b, so läfst sich jene Gleichung auch so ausdrücken: 
*V- 
V 
= e 
b e 
y 
VT=" 
i — b e j 
oder auch wenn man die Logarithmen dieses Ausdrucks nimmt, 
_ y \A—1 y\f — 1 
x \J —1 -=y\f —l—|—log (i— be ) — log(i—be ) 
und wenn man diese Logarithmen nach der Reihe 
log (x z) — Z \ 7 . - -3 z 3 
entwickelt: 
\ X = \ y -J- b Sin y —|— -jr b 2 Sill 2 J • f | b 3 Sill 3 y + . . . (7) 
und diese Gleichung gibt den Werth von x in einer sehr ein 
fachen Reihe, die nach den Sinus des Vielfachen von y fort 
geht, die aber nur dann brauchbar ist, wenn b eine gegen die 
Einheit kleine Gröfse ist. Um daher auch für die Fälle , in denen 
die gegebene Reihe divergirt, einen für die Anwendung brauch 
baren x^usdruck zu finden, wollen wir die gegebene Gleichung 
so dar stellen: 
v 
V- 
f 
yV— 1] 
x ~y\/- 
~r e r. 
j 
Verfährt man mit diesem Ausdx’ucke wie mit dem vorhergehen 
den , so erhält man 
Sin v 
?,b a 
Sin 3 y “ 3 b 3 sin 3 y 
•( 8 ) 
und diese Reihe fängt da an brauchbar zu werden, wo die andere 
aufhört, so dafs eigentlich beyde zusammen als die vollständige 
Entwicklung der Gröfse x in eine Reihe anzusehen sind. Es wird 
nun nicht schwer seyn , auch für die Entwicklung der Gröfse y 
in eine Reihe, die nach den Sinus der Vielfachen der x fort 
geht, die beyden zusammengehörenden Auflösungen zu finden. 
Man wird erhalten 
y x . _. b s _. b 3 . 
— — b Sm x —j— — Sin 3 x — -5- Sin 3 x -i~ 
22 2 3 1 
■7 = — ~ + h Sin x —¿Sin 2 x +^Sin 3 x — 
Man bemerke noch, dafs die gegebene Gleichung