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Ist daher r + r == Sin 1 f und 1 .. H ~ r 1 = Sin 7 j y, so 
4 a 4 » 
ist die letzte Gleichung 
= (x — y) — (Sin x — Sin y) 
ä* 
Aus diesem allgemeinen Ausdruck für die Ellipse lässt sich 
der oben gefundene für die Parabel leicht ableiten. Setzt man 
nähmlich a unendlich gross, also Cos a — 2 LJL_, Cos ß = - 
2a 2 a 
der Einheit gleich , so ist a — Sin a — j? Sin 3 a 
Aber a= ArcCos Sina = Sin Are Cos also 
2 a . A . 2 a 
. 7 
Are Cos ——SinArcCos —Sin 1 Are Cos ) 
2 a 2 a 2 a 
und eben so 
Are Cos^ i — Sin Are Cos -—— = f 1 . 1 also 
2a 2a v a J 
1 1 
6 ja $ = (r -f- r + k) — (r -j- r — k) wie zuvor. 
§• ”■ 
Die Gleichungen des §. 7. sind die vorzüglichsten endlichen 
Ausdrücke, welche man zwischen den Grössen m u v und r hat. 
Dieselben Gleichungen lassen sich aber auch in oft sehr conver- 
girende Reihen entwickeln, und da ähnliche Entwicklungen in 
der Folge öfters Vorkommen werden, so wird es gut seyn, hier 
die allgemeinen Methoden zusammenzustellen , deren man sich zu 
diesem Zwecke bedient, und deren Beweise ich als bekannt vor 
aussetze, oder im entgegengesetzten Falle den Lesern zur Selbst 
übung überlasse. 
I. Ist u eine Function von x, in eine Reihe zu entwickeln, 
die nach den Potenzen von x fortgeht, so wird man für diese 
Entwicklung annehmen können 
u = U + q, x + q, x’ + q 3 x 3 + . . 
wo U, q,, q,. von x unabhängige Grössen sind.