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$• 12 . 
Wir wollen nun die Curve suchen , in welcher ein Körper, 
der blofs von der constanten Schwere g getrieben wird, in der 
kürzesten Zeit den Weg von einem gegebenen Punkte bis 
zu einen andern gegebenen Punkt zurücklegt. 
Ist x = o die senkrechte, mit der Richtung der Schwere 
parallele Coordinate des ersten der zwey gegebenen Punkte , so 
ist nach der Gleichung (c) (Nro. III $. 5 .) die Geschwindigkeit 
des Körpers in jedem Funkte, zu welchen die Coordinate x gehört 
v = \/ 2 S (x—a) 
vorausgesetzt, dafs der Körper seine Bewegung in dem ersten 
gegebenen Punkte aus der Ruhe anfängt. Ist ferner ds das Ele 
ment des Bogens, oder 
ds 2 = dx 2 -f- dy* -J- dz 2 , so ist 
ds 
dt = —• oder 
v 
.-f-Y 
■ + — + 
^ dx 2 ' 
^2g (x—a) 
und dieses Integral soll der Aufgabe gemäfs ein Minimum seyn. 
Ist aber 
dy d 2 y dz d 2 z 
f ' (*• 
dx* * ‘ * Z ’ dx ’ dx s 
dy 
eine solche Funktion von x, y, z,— ..deren Integral ein Gröbs 
tes oder einKleinstes seyn soll, so ist bekanntlich (Theil I, Seite 279) 
0 = 3 . f _M — J . df №> + a«. tlf _ 
dy d 2 y d 3 y 
o = a. iM — a . df ( Jz ) + a». llf C d ’ z ) _ 
dz [d 2 z d 3 z 
Wendet man diefs auf unsern besonderen Fall an, so hat man 
df (y) df ( z) 
d J 
dz 
= o und