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dy == ß' dw -I 1 - <y' dr und о = ß^ dw -J- <y'l dr , 
■woraus man durch Elimination топ dr erhält. 
dw 
dy = (ß'<y"—ß"cy/) —- 
so dafs man hat dx dy = 
T. d 9 dw 
cy/' 
wodurch also das Produkt 
dx dy dz auf die drey veränderlichen Gröfsen 9 . w und z gebracht 
wird. Um endlich noch dz zu linden , wird man d5 — dw = o 
setzen, wodurch die Petzte der Gleichungen (I) gibt dz = ty' / cjr, 
so dafs man bat dx dy dz = T.dS dw dr oder 
fff Ü dx dy dz = fff U T. d 9 dw dr , 
in welchem letzten Ausdrucke die Gröfse U ebenfalls als eine 
Funktion yon r, w, St zu betrachten ist. 
Behält man , um die Anwendung des Vorhergehenden zu 
zeigen, die obige Bezeichnung der Gröfsen rwJ bey, so ist 
x = r Sin 9 Cos w y = r Sin 9 Sin w z = r Cos 9. 
DifFerentiirt man diese drey Gleichungen nach allen in ihnen ent 
haltenen Gröfsen , so erhält man 
« = r Cos $ Cos w ß =—r Sin 9 Sin w ty = Sin 9 Cos w 
= r Cos St Sin w ß / — r Sin 9 Cos w y' = Sin 9 Sin w 
a“— —rSin 9 ß u — o cyO— Cos 9 
also ist T = r- Sin 9 . Setzt man daher U — i, so ist das Ele 
ment des Volums des Körpers 
d K = dx dy dz = T . dr dw d 9 — r 2 dr dw' d 9 Sin 9 wie zuvor. 
Hätte man aber die Winkel 9 und w so angenommen , dafs man hat 
x = r Cos 9 y = r Sin 9 Cos w z = r Sin 9 Sin w 
so würde man ebenfalls linden T = r 3 Sin 9 also auch 
dK = r 2 dr dw d 9 Sin 9 wie zuvor. 
II. Verwickelter wird der Ausdruck in r, w, 9 für das Ele 
ment der Oberfläche der Körper, das bekanntlich in rechtwink 
lichten Coordinaten x y z gleich 
as = a* a r .y . + (~)' + - is,. 
Man kann aber die drey Gröfsen x y z, wenn man die Glei 
chung für die gegebene Fläche zu Hülfe nimmt, immer auf zwey 
andere Gröfsen p und <| zurückführen, so dafs man hat 
dx = a dp -f- ß dq 
dy — dp -f- ß / dq 
dz = u"dp + ß"dq