fodukt
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Eliminirt man aus diesen drey Gleichungen die zwey Gröfsen
dp. dq , so erhält man
(a' [4" — a"ß') dx -f- fi"ß — aß") d^ (aß'—a'ß) dz = o
Die Gleichung einer Ebene, in welcher bekanntlich immer die
Cöeificienten von dx, dy, dz die Cosinus der Winkel sind, welche
diese Ebene in derselben Ordnung mit den coordinirten Ebenen
ibracht
w = o
<y" dr,
der yz, xz und xy bildet. Daraus folgt, dals jedes Element db
der gegebenen Fläche zu seinen Projectionen in den coordinirten
Ebenen der yz, xz und xy in derselben Ordnung die Ausdrücke
habe
Is eine
(a'ß"~—u" ß') dp dq, («" ß—u ß") dp dq , (« ß' —«'ß)dpdq,
und da bekanntlich das Quadrat jeder ebenen Figur gleich der
Summe der Quadrate ihrer Projectionen auf drey unter einan
der senkrechten Ebenen ist, so hat man für das Elemönt der
len zu
ist
Fläche des gegebenen Körpers
dS = dp dq . [/ \fx> ß" — a" ß ') 3 -J- (a." ß —« ß'O 9 (“ ß '—«'/?)*]
3 .
Nähere Anwendungen dieser Ausdrücke werden wir weiter un-
;n ent-
ten kennen lernen.
'OS w
111, Wendet man das Vorhergehende auf die Bestimmung
der Coordinaten X Y Z des Schwerpunktes an, so bat man,
wenn q die veränderliche Dichte des Körpers bezeichnet, nach
5 in W
5. io. VI.
„ f/J* -1K fffy dK 7 /f/z dlt
s Eie-
K ’ K * K ’
zuvor.
ian hat
, wo K = fff fr* Sin 3 dr d 3 dw
und da man nach der oben angenommenen Bezeichnung der Gröf
sen 3 und w hat
w
x = r. Sin 3 Cos w, y = r Sin 3 Sin w und z = r Cos 3
so erhält man für die gesuchten Coordinaten des Schwerpunktes
s Ele-
;wink-
fff q r 3 . Sin 3 3 Cos w . dr d 3 dw
fff £>r 3 . Sin 3 dr d 3 dw
ff ff r s * Sin 3 3 Sin w dr d 3 dw
ffjf r 3 . Sin 3. dr d 3 dw
Glei-
zwey
fffgv 3 Sin 3 Cos 3 dr d 3 dw
J ff fr* Sin 3 dr d 3 dw
Alle diese Integralien werden von w = o bis w = 36 o dann
von 3 =o bis 3 = 180 und endlich von r = o bis zu dem Werthe
von r genommen, der zu irgend einem Punkte der Oberfläche
des Körpers gehört.
Suchen wir zum Beyspiel den Schwerpunkt eines Kugelaus
schnittes, zu welchem der Halbmesser a und der Winkel 2 a der
