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Der Ausdruck für das Quadrat des Bogenelements irgend einer Raum- 
curve ist nach Formel (9.) der vorigen Vorlesung 
dx\-\-dx\-\-dx\ = 
Setzt man in diesem Ausdrucke eine der Grössen 2 X , 2 2 , ¿3 constant, so be 
zieht er sich auf eine Curve, welche auf einer der confocalen Oberflächen, 
z. B. für ein constantes 2 X auf einem Ellipsoid, liegt. Setzt man ferner in 
diesem Ausdruck zwei der Grössen 2 X , 2 2 , 2 3 constant, so bezieht er sich auf 
die oben erwähnten Durchschnittscurven und zwar auf diejenigen, welche auf 
einem confocalen Ellipsoid liegen, wenn man 2 X und 2 2 oder 2 X und 2 3 constant 
setzt, dagegen auf den Durchschnitt zweier confocalen Hyperboloide, wenn man 
2 2 und 2 3 constant setzt. Hiernach erhält man für die Bogenelemente der 
Durchschnittscurven auf dem Ellipsoid 
und 
und für das Flächenelement des Ellipsoids 
( a i + K ) ( a 2+ K) (%-h A 3 ) («j -h A3 ) (a 2 -+- A3 ) (a 3 +A 3 ) 
Integrirt man dieses Differential und dehnt es auf alle möglichen Werthe von 
2 2 und 2 3 aus, d. h. von 2 2 = —a 2 bis 2 2 = —a x und von 2 3 = —a 3 bis 2 3 = —a 2 , 
so erhält man einen Octanten der Oberfläche des ganzen Ellipsoids. Dieses 
Doppelintegral theilt sich aber ganz von selbst in die Summe zweier Producte 
von einfachen Integralen und giebt für die Oberfläche des Ellipsoids den Ausdruck 
welcher aus elliptischen Integralen zusammengesetzt ist. Dies ist der Weg, 
auf welchem Legendre die Quadratur der Oberfläche des Ellipsoids gefunden 
hat*). Seine Arbeit ist besonders deshalb von der grössten Wichtigkeit, weil 
dabei zum erstenmale die Krümmungslinien als analytisches Instrument zur 
Transformation der Ooordinaten angewendet werden. Nimmt man in obigem 
*) Exercices de calcul integral, I., p. 185 oder Traité des fonctions elliptiques, I., p. 352.