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Leber die rechtwinklige Projektion auf mehrere Pr. Ebn. 
über a x b x das Trapez a x a"b"b x , wobei a x a“ = a x a 2 und b x b“ = h x b 2 zu 
machen ist, so gibt die Strecke a“b“ gleichfalls die wahre Länge von ab an. 
Ganz ähnlich ist in Figur 151 zu verfahren. Bestimmt man nämlich wieder 
die wahre Länge a x b x von a x b x und zieht durch b x die Parallele b x a x ° = b x a x , 
ferner parallel bb x und gleich a x a, so stellt b^^aPb die wahre Gestalt 
des Trapezes b x a x a b und daher ba° die wahre Länge von ab dar. 
*Erkl. 213. Bezeichnet man die Länge von 
ab mit Z, die Länge ihrer Projektionen auf die 
Pr. Ebn. E v E 2 und mit l v Z 2 und Z 3 , end 
lich mit x, y, z und x t , y^, z 1 die Coordi- 
naten der Punkte a und b, siehe Erkl. 183 und 
187, so gewinnt man leicht folgende Beziehungen 
aus der Figur 150: 
Zunächst ist: 
33) ... = ZXcos«^! l 2 — l X cos 
Z 3 = Z X cosw> 3 , siehe Erkl. 48, 
ferner ist: 
4 2 = (Vi — ZZ) 2 + ( x i — x ) 2 
(reclitw. Dreieck a 1 b 1 p) 
l 2 - = (x t — x) 2 -j- (z x — z) 2 
(rechtw. Dreieck a 2 b. 2 q) 
Z s 2 =z(y 1 — y) 2 + (z 1 -z) 2 
(rechtw. Dreieck a s b s r) 
34) 
endlich ist: 
l 2 — a“d 2 -\- db" 2 (rechtw. Dreieck a“db“) 
oder: 
35) . . . I 2 = (x x - x) 2 + ty x - y) 2 4- (z x - z) 2 
Addiert man die Gleichungen 34), so erhält 
man: 
+ h 2 + h 2 = 2 X [(x x - x) 2 4- (y, — y) 2 4- («1 - -) 2 ] 
oder in Klicksicht auf Gleichung 35): 
36) . . . I 2 4- l 2 4- l 2 = 2 X Z 2 
Setzt man für Z,, Z 2 und Z 3 die Werte aus 
Gleichung 33), so erhält man: 
Z 2 X cos 2 w x -fZ 2 X cos 2 w 2 4- Z 2 X cos 2 ^ 3 = 2X^ 2 
oder: 
37) . . . cos 2 Wj 4- cos 2 m\ 2 4~ cos 2 w 3 — 2 
welche Gleichung sich mit Rücksicht auf Glei 
chung 11), Seite 48, auch so schreiben lässt: 
(1 — sin 2 «^) 4- (1 — sin 2 ic 2 ) 4~ (1 — sin 2 w> 3 ) = 2 
oder: 
38) . . . sin 2 ^ 4~ sin 2 i^ 2 4~ sin 2 io 3 = 1 
Erkl. 214. Die Gleichungen 35), 36), 37) 
und 38) enthalten folgende Sätze: 
„Das Quadrat über einer Strecke Z 
ist gleich der Summe der Quadrate der 
gleichnamigen Coordinatendifferenzen 
der Endpunkte der Strecke.“ 
„Projiziert man eine Strecke Z auf