Gelöste Aufgaben. 
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„Die Summe der Cosinusquadrate der 
Winkel einer Geraden mit dreien auf 
einander senkrechten Pr. Elm. ist gleich 
2, die Summe der Sinus quadrate dieser 
Winkel ist gleich 1.“ 
*Erkl. 215. Aus dem genannten Satze folgt 
die weitere Eigenschaft, dass die Summe von 
zweien der Winkel tv 2 , w s unter der Vor 
aussetzung, dass keiner derselben gleich Null 
ist, stets kleiner sein muss als 90°, siehe 
Erkl. 215a; ist einer der Winkel gleich Null, so 
ergänzen sich die beiden übrigen zu 90°. 
Mit anderen Worten: „Eine zu den Pr. 
Ebn. beliebig geneigte Gerade schliesst 
mit den Pr. Ebn. E\ und E 2 Winkel ein, 
deren Summe stets kleiner ist als 90°.“ 
„Nur wenn eine Gerade zur Pr. Eb. E 3 
parallel läuft, ergänzen sich die Winkel 
w 1 und w 2 zu 90°.“ 
*Erkl. 215a. In Kleyers Lehrbuch der Gonio 
metrie wird gezeigt, dass wenn zwei Winkel 
und w 2 sich zu 90° ergänzen, die Beziehung 
besteht: 
sin 2 «q -j- sin 2 %v n _ — 1 
Erkl. 216. Das in der Antwort auf die 
Frage 17 und in Erkl. 51 Gesagte behält seine 
Gültigkeit auch für den Fall, dass eine Strecke 
durch zwei Projektionen gegeben ist. Man 
kann den in Erkl. 51 genannten Satz ganz all 
gemein so aussprechen: 
„Ist eine Strecke im Raume in eine 
Anzahl gleicher und in einem bestimmten 
Verhältnis stehender Abschnitte geteilt, 
so ist jede ihrer Projektionen durch die 
Projektionen der Teilpunkte in derselben 
Weise wie die Strecke selbst geteilt. 
Mit anderen Worten: „Durch eine recht 
winklige Projektion auf die Pr.Ebn. wird 
das Teilverhältnis einer Strecke nicht 
geändert.“ 
e) Gelöste Aufgaben. 
Aufgabe 73. Durch einen Punkt a ist 
eine Gerade zu zeichnen, welche mit den 
Pr. Ebn. E 1 und E 2 gegebene Winkel w x 
= 30° und Wg 
45° einschliesst. 
Auflösung. Nimmt man eine beliebige 
Strecke p, siehe Figur 153, der gesuchten 
Geraden als gegeben an, so kann man die 
in Eede stehende Aufgabe auch so aus 
sprechen: Eine Strecke von gegebener 
Länge ist durch einen gegebenen 
Punkt so gegen die Pr. Ebn. zu legen, 
dass ihre Winkel mit denselben vor 
geschriebene Grössen haben. 
Zu diesem Zwecke braucht man aber nur 
die rechtwinkligen Dreiecke bce und bdf, 
siehe Figur 153, mit der Hypotenuse gleich 
p und den Winkeln w x = 30° und w 2 = 45° 
zu konstruieren, so geben die Katheten be 
und bf die Längen der Projektionen der 
MSI