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Ueber die rechtwinklige Projektion auf mehrere Pr. Ebn. 
Sparen der gesuchten Ebenen verteilt sind. 
Durch jede dieser Linien gehen zwei Ebenen, 
berührend an die drei Kugeln. 
Zur Bestimmung der Berührpunkte, z. B. 
der durch S x gehenden Ebenen, zeichne man 
durch a x die Senkrechte a x a zu S x und 
durch a eine Tangente an K, welche in x“ 
berührt; die Projektion des letzteren Punktes 
auf aa gibt in x x die erste Projektion des 
Berührpunktes einer durch S x an die Kugel K 
gehenden Berülirebene. Mit x x fällt zusam 
men ein Punkt x x als erste Projektion eines 
Berührpunktes x‘ von gleichem aber entgegen 
gesetztem Abstand von E x wie der Punkt x, 
welcher einer zweiten durch S x an die Kugel 
K möglichen Berührebene angehört. 
Die ersten Projektionen der Berührpunkte 
genannter Ebenen mit den Kugeln K‘ und K“ 
liegen auf den Senkrechten durch b x und c x zu 
S v sowie auf den Verbindungslinien x x q v y x u x 
und x x s x bezw. Die zweiten Projektionen 
ermitteln sich entsprechend. 
In gleicher Weise bestimmen sich auch 
die Berührpunkte der durch die Geraden S x , 
S“ und S x in gehenden Ebenen mit den Kugeln. 
Im allgemeinen gibt es im ganzen acht Ebe 
nen der verlangten Art. 
In welchen Fällen vermindert sich die Zahl 
der möglichen Ebenen? 
Auflösung b. Die gesuchten Ebenen sind 
bestimmt durch die Halbierpunkte der Kanten 
t?.«i.t ■ cu „ . „ —r des durch die Punkte a, b, c. d festgelegten 
in einem Punkte m, so kann derselbe als innerer Tetiaedeis und zvyai gehen je. \ 1er Ebenen 
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Erkl. 266. Die in Auflösung a. bezeich- 
neten Teilungspunkte p x , q x , r,, s x , f,, u x füh 
ren als Schnittpunkte gemeinsamer Tangenten 
von je zwei Kreisen auch die Bezeichnung 
„Aehnlichkeitspunkte“ und zwar deshalb, 
weil die durch sie gezogenen Strahlen auf den 
zugehörigen Kreisen Punkte so ausschneiden, 
dass die Verbindungslinien der Schnittpunkte 
entsprechender Strahlen zu einander parallel 
laufen, und in beiden Kreisen ähnliche Figu 
ren bestimmen. Für die äusseren Aebnlichkeits- 
punkte sind diese Figuren überdies noch ähn 
lich liegend, siehe Erkl. 267. 
Erkl. 267. Zwei ähnliche Figuren liegeil 
ähnlich, wenn die durch den Aelmlichkeitspunkt 
gezogenen Strahlen beide Figuren so treffen, 
dass die Aufeinanderfolge dieser Schnittpunkte 
in beiden Figuren im gleichen Sinne erfolgt. 
Teilungspunkt der Strecke ab im Verhältnis 
gelten, der äussere Teilungspunkt liegt in un 
endlicher Ferne. Die vier zu den Tetraeder 
kanten gehörigen äusseren Teilungspunkte be 
finden sich nun auf einer Ebene in unendlicher 
Ferne. 
1) Ebene m adt bd, sie läuft parallel zur 
2) 
3) , 
4) r 
5) ,, 
6) ,, 
7) , 
8) die 
Mlae, bc, de, y 
111 ab, cb, db, •• 
mha, ca, da, y 
l^cd, db, ab, ac, 
^a hc, ad, cd, 
Wae, bc, ad, bd, 
unendlich ferne 
parallel zu den Seitenflächen, je drei parallel 
zu zweien gegenüberliegenden, windschiefen 
Kanten des Tetraeders. Es sind somit sieben 
Ebenen der verlangten Art vorhanden, wozu 
noch als achte Ebene die unendlich ferne 
Ebene hinzuzurechnen ist, siehe Erkl. 268. 
Bezeichnet man die Mittelpunkte der acht 
Tetraederkanten mit m a b, m ac etc., so sind 
die im Endlichen vorhandenen Ebenen wie 
folgt gebildet: 
Ebene abc und geht durch die Mittelpunkte 
abd der Kanten ad, bd, \cA s 
' acd 
,. bed 
sie läuft parallel zu den Kanten ad und bc 
„ ,, ,, ,. „ „ ac und bd 
,, ab und cd 
Ebene. 
Die acht Halbierpunkte der Tetraeder 
kanten bilden die Ecken eines Achtfläch 
ners (Oktaeders), siehe Erkl. 269, in 
welchem die unter 1) bis 4) genannten