Andeutungen zur Lösung der ungelösten Aufgaben.
179
raden, so geben die Schnittpunkte st und uv,
ebenso su und tv Punkte der oben genannten
Schnittlinien, welche ausserdem durch b gehen,
oder man schneide die vier gegebenen Ge
raden durch eine willkürliche zu E l oder E 2
senkrechte Ebene und bestimme in deren
Schnittviereck wieder die Schnittpunkte von
gegenüberliegenden Seiten.
b. Denkt man sich die Ebene konstruiert,
so schneidet dieselbe die vier gegebenen
Geraden nach einem Trapeze a'b'c'd', so
dass
a' d'
Tb'
a‘ d‘ parallel c‘ b‘ und ausserdem — —
parallelen Ebene nach einem Parallelogramm
a'ß'y'Ö', ähnlich dem gesuchten aßyö.
Nun verhalten sich aber die Flächeninhalte
ähnlicher Figuren wie die Quadrate gleich
liegender Seiten; es finden, wenn l‘ 2 den
Flächeninhalt des Parallelogramms cc'ß'y'ö',
Iß 2 den seiner Projektion bezeichnet, folgende
Verhältnisgleichheiten statt:
V 2 _ 12 x cos 2 W, _
1‘ 2 Z^XcOSTFj Iß 2
ferner:
yd 2
= — ist und es läuft
die Trapez-
Ebenen
yd 2 X cos w, 7\^ 2
rßW
ebene parallel zur Schnittlinie der
AD und BC.
Zieht man daher durch den Schnittpunkt b
der vier gegebenen Geraden eine Parallele
zur Schnittlinie eben genannter Ebenen und
trägt auf derselben von b aus zwei Strecken
im Verhältnis — ab und zieht durch deren
n
Endpunkte Parallele zu den Linien D oder A
bezw. C oder B, so treffen diese die Ge
raden A oder D bezw. B oder C in Punkten
a“ oder d" bezw. b“ oder c" derart, dass
die gesuchte Ebene durch a parallel zu den
Linien S und a"b“ oder S und c“d“ läuft.
y‘ cF'2 y‘ (f'2 X cos w,
Nunmehr ist aber:
l 2 _ W 2
daher auch:
y tf'2
Al-
l' 2
yß d \' 2
Weiter ist aber auch mit Rücksicht auf
die Aehnlichkeit der Dreiecke a l y 1 Ö l und
a 1 yß öß die folgende Verhältnisgleichheit
richtig:
a i 7\ 71
a \V\ h‘
Verwandelt man daher den Inhalt des
Parallelogramms ccßßßyßöß in ein Quadrat
und bestimmt ferner den Inhalt der Projek
tion von l 2 mittels des Winkels Jf\, so er
hält man hiedurch die Längen l x und Iß und
hat nur nötig, auf der Projektion a x d x einen
Punkt so zu konstruieren, dass die Verhältnis
gleichheit:
«i7i _ h
«G/i
Iß
stattfindet. y[ ist die erste Projektion eines
Punktes der gesuchten Ebene, welche nun
mehr parallel zu den Vierecksdiagonalen ge
zogen werden kann.
Aufgabe 127. Die durch den gegebenen
Punkt c senkrecht zur Geraden A gelegte
Ebene bestimmt die eine Grundfläche des
Prismas und ihr Schnittpunkt mit A gibt
den Mittelpunkt des Achtecks, dem ausser
dem der Punkt c als Ecke angehört. Mittels
Umlegung ergibt sich wahre Gestalt und
Projektion des Achtecks. Eine durch b
gleichfalls senkrecht zu A geführte Ebene
liefert die zweite Grundfläche.
Aufgabe 128. Die durch m senkrecht zur
Linie ms geführte Ebene gibt die Grund
fläche der Pyramide. Aus dem Verhältnis
zwischen Seitenkante und Höhe, sowie der
bekannten Grösse der letzteren ergibt sich
die Länge des der Grundfläche umbeschrie
benen Kreises. Mittels der Bedingung über
die Lage einer Grundkante gewinnt man
ferner eine Ecke der Grundfläche. Letztere
kann nunmehr durch Umlegung der Grund
flächenebene in wahrer Gestalt und Projek
tion gezeichnet werden.