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Ueber die rechtwinklige Projektion der regulären und halbregulären Körper. 
Die zweite Projektion ist begrenzt durch 
einen Rhombus mit der Höhe des Drei 
ecks a i b l c l als Seite, wobei der Abstand der 
zur Pr. Eb. E t parallelen Oktaederseite von 
letzterer gleich der Kathete eines recht 
winkligen Dreiecks a l e l e‘ mit a i e i als Kathete 
und der Strecke a t e‘ gleich der Oktaeder 
kante l — a l b i als Hypotenuse zu nehmen ist. 
In den Figuren 63 a und 63 b sind noch 
zwei weitere Projektionsformen des Okta 
eders dargestellt, nämlich eine vierte Pro 
jektion « 4 f t d i in eine Pr. Eb. E x senk 
recht zur Diagonale ec des Körpers, sowie 
eine fünfte Projektion, siehe Figur 63b, 
senkrecht zur Pr. Eb. E t und parallel zur 
Diagonale ec. Für letztere Projektion ist zu 
bemerken, dass die Abstände der fünften Pro 
jektionen von der Projektionsachse F' gleich 
jenen der zweiten Projektionen von der 
Achse Z 0 zu nehmen sind. 
Das Netz des Körpers, aus acht gleich 
seitigen Dreiecken bestehend, ist durch 
die strichpunktierten Dreiecke angedeutet. 
Frage 38. Wie gestalten sich die recht 
winkligen Projektionsformen eines 
Ikosaeders? 
Erkl. 81. Dass die Strecke m t b t " im Punkte o, 
im goldenen Schnitt geteilt ist, ergibt sich 
unmittelbar wie folgt: Es ist n? t £ t " parallel n t 'd l ; 
letztere Linie erscheint aber als Projektion der 
zur Seite a^bj' parallelen Fünfecksdiagonale, 
daher ist h“ gleich dem grösseren Abschnitt 
der im goldenen Schnitt geteilten Strecke a^'d^ 
und da a t V t = r)\a i ist, so ist in der Tliat 
die Strecke m i b l “ im Punkte <\ im goldenen 
Schnitt geteilt. 
Erkl. 82. Bezeichnet / die Länge der Körper 
kante , so ist der Halbmesser r des dem Drei 
eck a^‘ umschriebenen Kreises gleich 
i-V*- Nun ist die Strecke a t b t " gleich dem 
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grösseren Abschnitt des im goldenen Schnitt 
geteilten Halbmessers r, also mit Bezugnahme 
auf Gleichung 25, siehe Erkl. 74: 
hVä-(-i + Vs) 
«A" = j- 
= |-V8.(— 1+Vä) 
Folglich ist der Halbmesser b^' oder 
R = r+a 1 ^ 1 ;/ =4-V / ^+4 
o o v 
l \/ 3 , 
= ... 31) 
Antwort. Liegt eine Begrenzungsfläche, 
etwa das Dreieck a i a l t a l °, siehe Figur 64, 
in der Pr. Eb. E t , so stossen an die Seiten 
dieses Dreiecks drei kongruente, reguläre 
Fünfecke unter gleicher Neigung gegen die 
Pr. Eb. E t an. Die ersten Projektionen 
dieser Fünfecke sind somit gleichfalls kon 
gruente Figuren und da überdies die den 
Seiten aa‘, a!a", a“ a gegenüberliegenden 
Ecken d, d' und d“ wieder einer Begrenzungs 
fläche des Ikosaeders angehören, so bilden 
die Punkte a i a l i a l u , d^djd^ die Ecken 
eines regulären Sechsecks. ‘In gleicher 
Weise gehören auch die noch übrigen Ecken 
biPiK“* c i c i < c t J ein e m regulären Sechseck an. 
Die den beiden genannten Sechsecken um 
schriebenen Kreise stehen in der Be 
ziehung zu einander, dass der Halbmesser 
des kleineren Kreises den grösseren Abschnitt 
des im goldenen Schnitt geteilten Halbmessers 
m i bj > des grösseren Kreises bildet, siehe 
Erkl. 81. Man erhält demnach die erste 
Projektion des Ikosaeders für den Fall dass 
eine Seitenfläche in der Pr. Eb. E i liegen 
soll, sehr einfach wie folgt: Man zeichne 
das gleichseitige Dreieck a t aj a“ mit der 
gegebenen Kantenlänge l als Seite, umschreibe 
demselben einen Kreis und vollende das regu 
läre Sechseck o t o/ ,.. bis d t ". Teile den 
Halbmesser m x a x = r im goldenen Schnitt