lieber die Konstruktion cler Projektionen und Netze der fünf regulären Körper cte. 99 
Die Strecke a, b t “ ist aber auch als Kathete 
in dem rechtwinkligen Dreieck in wel 
chem a l b = L ist, enthalten. Man hat somit 
auch die Beziehung: 
bSP = l > -tt r '*=l* Q-VT-(l+V3))* 
r- 
(3 + V 5 ) 
6 
Der Ausdruck 3 -p V5 ist aber gleichbedeu- 
(i + vq 
2 
lieh hat man: 
tend mit 
siehe Erkl. 83, folg- 
b t J ‘b* = 
P.(l + Vb) 
6 . 2 
daher: 
b,“b 
^/¿ 2 .(i + vq ¿.v i + 5 
= Y.vT 
12 
Vs ■ V'1 + 5 . 
32) 
welcher Ausdruck mit dem unter 31) Gezeich 
neten für R übereinstimmt. Da nun die Strecke 
o 2 c? 3 ,_ siehe Figur 64, im Punkte bd im goldenen 
Schnitt geteilt erscheint, so verhalten sich 
auch die Abstände der Punkte d und b‘ von 
der Pr. Eb. E t , wie die Abschnitte einer im 
goldenen Schnitt geteilten Strecke, woraus weiter 
folgt, dass die Abstände der Punkte d und 6' 
von der Pr. Eb. E ± gleich r + R und ^be 
ziehungsweise sein müssen. 
und übertrage den grösseren Abschnitt nach 
a i b t ", so gehört b “ dem zweiten Kreise mit 
dem Halbmesser R an und ist eine Ecke des 
den ersten scheinbaren Umriss bil 
denden Sechsecks & t ", . . . . bis c 4 ". 
Was die zweite Projektion des Ikosaeders 
anbetrifft, so liegen die zweiten Projektionen 
der Punkte a, a‘, a", b, b‘, b“, c, &, c", endlich 
d, d‘, d“ je in Parallelen zur Ai-Achse, 
und zwar in Entfernungen von letzterer Linie 
gleich 0, R, r und R + r beziehungsweise, 
siehe Erkl. 81 und 82. 
In der Figur 68 a und b sind noch eine 
vierte und fünfte Projektion verzeichnet. 
Der scheinbare Umriss der vierten Pro 
jektion in eine Pr. Eb. senkrecht zur Dia 
gonale bc“ gestaltet sich, infolge des Paral 
lelismus der an die Seiten aa‘ und d‘d“ 
anstossenden Fünfecke zur Pr. Eb. E 4 , als 
ein reguläres Zehneck, siehe auch Anm. 22. 
Die fünfte Projektion in eine Pr. Eb. 
senkrecht zu E i und parallel zur Diagonale bc 11 
leitet sich unmittelbar aus der zweiten und 
vierten Projektion ab, siehe auch Anm. 22. 
Erkl. 83. Erhebt man den Ausdruck 1 +V5 
zum Quadrat, so erhält man: 
1 + V / o 
i + Vs 
1 -P 2 \/ 5+5 = 6 -p 2 V o 
Folglich ist: 
/— (l + V 5 V 
3 + Vs = vJ . 
Anmerkung 22. Jede der vier Projektionsformen des Ikosaeders lässt sich unabhängig 
von den anderen direkt konstruieren. 
Die erste Projektion ergibt sich unmittelbar mittels der beiden mit den Halb 
messern v und R beschriebenen Kreise und den denselben eingeschriebenen re 
gulären Sechsecken. 
Die zweite Projektion bestimmt sich wie folgt: Man zeichne das liechteck b, a. “c. “d. 
mit den Seiten l und der Fünfecksdiagonale. Zieht man ferner c 2 b a " durch den Mittel 
punkt zn 2 des eben genannten Rechtecks parallel zur grösseren Rechtecksseite und 
der Länge nach gleich l, so treffen sich die Verbindungslinien der Eckpunkte c und b " 
mit den Ecken des genannten Rechteckes in den noch fehlenden Ecken * Id,") 
bezw. a 2 (a 2 ') der Polyederprojektion. " 2 2