Lebei die Konstruktion der Projektionen und Netze der fünf regulären Körper etc. 105 
Erkl. 89. Hätte man die vierte Projektion, 
siehe Figur 66 a, direkt konstruiert, so Hessen 
sich aus derselben die zur Konstruktion der 
Figur 66 b erforderlichen Abstände A, h‘ und h“ 
gleichfalls entnehmen, und zwar ist die Strecke 
(■'iV—h, <V"c*' 7 = A' und'v'oV'"=A"—A+A'. 
Man beweise diese Gleichheiten. 
Frage 41. Welche wichtigen Eigen 
schaften leiten sich aus den in den Ant 
worten der Fragen 37 bis 40 durchgeführten 
Konstruktionen für die regulären Poly 
eder ab ? 
Erkl. 90. Bezeichnen 2?, r und p die Halb 
messer der den regulären Körpern beziehungs 
weise um-, ein- und anbeschriebenen 
Kugeln, so lassen sich die Werte der genannten 
Halbmesser aus den Projektionsformen der Kör 
per entweder unmittelbar entnehmen oder doch 
leicht ableiten und durch den Wert Z der Kanten 
länge ausdrücken. 
Für das Tetraeder entnimmt man der 
Figur 62 unmittelbar die Beziehungen: 
E =. m^d-, 
• A/6 = 0,6123724.Z 
r = m,n = * R =- ~ . Vß — 0,2041241.1 
p == a 2 o 
= i-Ve 
0,3535534 . Z 
Für das Oktaeder, siehe Figur 63, erhält 
man: 
E = m 2 c z = — . \/2 = 0,707107 . Z 
„ d.halb.Höhed. Z - y — ^ , 
-Bhomb.c 2 cZ 2 c,6. J — q ' 1 0,40824b . I 
p — m 2 a, . = - — 0,5 .Z 
Für das Ikosaeder, siehe Figur 64, er 
hält man: 
E — m z b 2 = 4 .VlO+ 21/5 = 0,95106. Z 
r> ■ (31/ 3~+1/15) = 0,755761. Z 
r = m,n 
p = m 2 a, = ¡.(n-l/5) =0,809017. Z 
Für das Hexaeder, siehe Figur 65, erhält 
man: 
E =, m,h 2 = l . V3”= 0,8660254 . Z 
l -t l „ r , 
r — g a x K — ■- = 0,o . Z 
p == a 2 — — . \/2 = 0,707107 . Z 
Antwort. Aus den im Vorangegangenen 
durchgeführten Konstruktionen erkennt man 
für die regulären Polyeder mit Aus 
nahme des Tetraeders unmittelbar folgende 
Eigenschaften: 
1) Jeder Fläche der Körper entspricht eine 
zu ihr parallele Gegenfläche; die Ab 
stände von je zweien parallelen Gegenflächen 
sind einander gleich und die Verbindungs 
linien ihrer Mittelpunkte schneiden sich 
sämtlich in einem Punkte wi, dem 
Mittelpunkte des Körpers, Es lässt 
sich somit jedem der Körper eine Kugel 
einbeschreiben, welche dessen Be 
grenzungsflächen in deren Mittel 
punkten berührt. 
2) Zu jeder Körperkante gehört eine zu 
ihr parallele Gegenkante; die Abstände 
von je zweien parallelen Gegenkanten sind 
einander gleich und die Verbindungslinien 
der Halbierpunkte zweier Gegenkanten schnei 
den sich sämtlich gleichfalls in dem 
Mittelpunkten des Körpers. Es gibt 
somit eine weitere dem Körper an 
beschriebene Kugel, welche die sämt 
lichen Kanten des Körpers in deren 
Mittelpunkten berührt. 
3) Die Endpunkte von je zweien Gegen 
kanten bilden die Ecken* eines Rechtecks, 
dessen Diagonalen einander gleich sind 
und sich im Mittelpunkte m des Körpers 
begegnen. Somit ist eine dritte dem Körper 
umbeschriebene Kugel vorhanden, 
auf welcher sich die Ecken des Kör 
pers befinden. 
4) Je zwei auf einem Durchmesser der 
unter 3) genannten Kugel befindlichen Körper 
ecken heissen Gegenecken und ihre Ver 
bindungslinie ist eine Haupt diagonale des 
Körpers. Sämtliche Hauptdiagonalen sind von 
gleicher Länge. 
5) Die unter 1) bis 3) genannten Kugeln 
sind auch beim Tetraeder vorhanden, doch 
besitzt dasselbe weder parallele Flächen, 
noch Kanten, noch Gegenecken und 
sohin auch keine Haupt diagonalen.