106 Heber die rechtwinklige Projektion der regulären und halbregulären Körper. 
Für das Dodekaeder, siehe Figur 66, er 
hält man: 
R = JVV' // =r(l + Vö)-'V3 = 1,401259.1 
1 
2 
7«Entf. i 4 /50I22VV 
T =d.h.Fl.= i .V t V - B - = 1,113516.1 
a... u. d... ' 5 
l 
4 
(Siehe auch Kleyer’s Lehrbuch der Körperberechnungen, 
erstes Buch, Seite J29—214.) 
p = m 2 a 2 . (V3 t ) =1,809017.j 
Erld. 91. Die Mittelpunkte der Begrenzungs 
flächen eines jeden der fünf regulären Polyeder 
gehören der dem Polyeder einbeschriehenen 
Kugel an und bilden die Ecken eines zweiten 
regulären Polyeders, den man den p o - 
1 aren oder r e c ipr oken Polyeder des ersteren 
nennt. 
Wie man sich leicht überzeugt, gehört dem 
Tetraeder als reciproker Körper wieder 
ein Tetraeder an. Dem Oktaeder ent 
spricht reciprok das Hexaeder; dem Ikosa- 
eder entspricht reciprok das Dodekaeder. 
Erkl. 91 il. Man erhält den reciproken 
Körper zu einem gegebenen regulären 
Körper auch dadurch, dass man in den Eck 
punkten des Körpers an die dem Körper um 
beschriebene Kugel B e r ü h r e b e n en legt 
und deren Schnittlinien unter sich aufgesucht 
denkt. Jeder Ecke des einen Körpers ent 
spricht reciprok eine Fläche des anderen 
Körpers und umgekehrt. Der reciproke 
Körper besitzt stets so viele Seitenflächen 
als der ursprüngliche Körper Ecken 
hat. Stossen an jeder Ecke des einen Körpers 
n - Flächen zusammen, so entspricht der 
n - s e i t i g e n Ecke reciprok immer eine 
/?-kantige Fläche. 
El’kl. 92. Nimmt man ein reguläres 
Tetraeder als gegeben an, so lassen sich 
aus demselben sämtliche übrigen regu 
lär e n P o 1 y e d e * in einfacher Weise ableiten : 
Verbindet man nämlich die Mittelpunkte der 
Kanten in den Flächen des Tetraeders mitein 
ander , so bilden die Verbindungslinien die 
Kanten eines Oktaeders, dem reciprok, 
siehe Erkl. 88, das Hexaeder entspricht; aus 
dem Hexaeder erhält man aber das Dodeka 
eder wie folgt: 
Verbindet man die Mittelpunkte paralleler 
Seitenflächen eines Hexaeders, und verlängert 
diese Verbindungslinien über die Flächenmittel 
punkte hinaus um den kleineren Abschnitt der 
im goldenen Schnitt geteilten halben Hexaeder 
kante, so geben die so erhaltenen auf je einer 
dergenannten Verbindungslinien liegendenPunkte 
die Mittelpunkte von parallelen Dodekaeder- 
kanten, die beziehungsweise zu den Kanten des 
Hexaeders parallel laufen. Die Länge einer 
Dodekaederkante bestimmt sich als grösserer 
Abschnitt der im goldenen Schnitt geteilten 
6) Die Verbindungslinie zweier Gegenecken, 
oder der Mittelpunkte von Gegenflächen und 
Kanten kann man auch eine Achse des 
Körpers nennen, weil hinsichtlich einer jeden 
dieser Linien die sämtlichen übrigen auf der 
Oberfläche des Körpers befindlichen Punkte 
symmetrisch angeordnet sind. Jedes 
der Polyeder, mit Ausnahme des Tetra 
eder, besitzt demnach drei Systeme von 
Achsen. Die Achsen jedes einzelnen Systemes 
sind einander gleich, die Achsen sämt 
licher Systeme gehen durch den Mittelpunkt 
des Körpers und werden in demselben hal 
biert. 
7) Das Tetraeder besitzt nur ein System 
von Achsen im obgenannten Sinne, nämlich 
die Verbindungslinien der Mittelpunkte 
seiner Begrenzungsflächen mit den gegen 
überliegenden Ecken.