Andeutungen zu den Lösungen der ungelösten Aufgaben. 
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und dem Halbmesser gleich s 2 §. Zieht man 
nun durch d t eine Keilie von Geraden, z. B. 
, welche die Gerade s‘s i in Punkten etc. 
schneiden, und bestimmt die zugehörige zweite 
Projektion b.,, so dass die ersten'Abstände 
gleich der zweiten Kathete eines rechtwink 
ligen Dreiecks sind mit d l b, als anderen 
Kathete und W, als anliegenden Winkel, so 
befinden sich die Punkte b 2 auf einer Kurve, 
welche den Kreis K 2 in höchstens zweien 
Punkten, den zweiten Projektionen 
der möglichen Pyramidenspitzen trifft. 
Zahl der Lösungen höchstens vier. 
Im Fall 8 sind zwei Möglichkeiten denkbar; 
entweder ist nämlich der Winkel der Seiten 
fläche abs mit einer benachbarten oder 
mit einer gegenüberliegenden Seiten 
fläche gegeben. In beiden Fällen führt die 
Lösung auf ein Dreikant, von dem man zwei 
Seitenwinkel und den dem einen Seitenwinkel 
gegenüberliegenden Flächenwinkel kennt, siehe 
auch Aufgabe 2 und 3, Fall b. 
Im Fall s bestimmt sich mittels der Höhe 
und der Umlegung s' das Konstruktionsdreieck 
des Punktes s, und damit die erste, sowie 
zweite Projektion der Pyramidenspitze. 
Zahl der Lösungen zwei. 
Auflösung b. Mittels des gegebenen 
Winkels ist zunächst die Lage der Ebene abs 
gegen die Grundfläche festgelegt; eine Paral 
lele zurX-Achse im Abstande h vonW liefert die 
zweite Projektion s 2 von s; auf der Proji 
zierenden durch s 2 liegt s 1 . 
Im Fall a gewinnt man nun durch die ge 
gebene Länge cs im Verein mit h die Länge 
c 1 s L und damit einen zweiten geometrischen 
Ort für s v in dem Kreise um c t als Mittel 
punkt und c l s t als Halbmesser. 
Zahl der Lösungen höchstens vier. 
Im Fall ß bleibt die Lösung wie im Fall a, 
nur bestimmt sich die Länge c l s l aus h und 
dem Winkel w, von cs mit der Grundfläche. 
Zahl der Lösungen höstens vier. 
Im Fall y besteht der zweite geometrische 
Ort für s in der Schnittlinie der beiden 
Seitenflächen, deren Winkel gegeben ist. 
Ist also z. B. der Winkel W der Seiten 
flächen abs und cds gegeben, so hat man 
nur durch c d eine Ebene unter dem Winkel W 
gegen Ebene abs geneigt zu legen und deren 
Schnittlinie mit letzterer zu bestimmen. 
Zahl der Lösungen höchstens zwei. 
Auflösung c. Durch die gegebenen Winkel 
bestimmt sich die Schnittlinie der betreffenden 
Seitenflächen und damit ein geometrischer 
Kathete bekannt sind. Durch die gegebene 
Höhe ist also der Winkel der Grundfläche 
mit der Ebene abs, d. h. die Lage der 
ersteren gegen die letztere und im Anschluss 
hieran auch die Lage der Grundkante c b in 
der Grundfläche bestimmt. 
Im Fall a hat man nun nur noch durch 
die Kanten a s und c s Ebenen unter den 
gegebenen Winkeln zu den Ebenen abs gnd 
bcs geneigt zu legen, so liefern diese durch 
ihre Schnittlinien mit der Grundfläche die 
Grundkanten a d und c d. 
Im Fall ß legt man durch die Kanten as 
und cs Ebenen unter den gegebenen Winkeln 
gegen die Ebene abs bezw. der Grundfläche 
geneigt, so sind hiedurch wieder die Grund 
kanten a d und c d bestimmt. 
Auflösung c. Es seien die Seiten 
flächen abs und cds gegeben. 
ln den Fällen « und ß bestimmt sich 
mittels der gegebenen Höhe und der Länge cs 
bezw. des gegebenen Winkels von cs mit der 
Grundfläche ganz so wie in der vorigen Auf 
gabe der Winkel der Grundfläche mit der 
Ebene abs; im Falle y ist dieser Winkel 
gegeben. 
Kennt man nun die Lage der Grundfläche, 
so hat man nur durch die Kante as oder bs eine 
Ebene unter dem gegebenen Winkel zu der 
Grundfläche geneigt zu legen, so ist hiedurch 
die Lage der Grundkante a d oder b c und 
hiedurch auch die Lage des Punktes d oder c 
bestimmt und es kann nun die Ebene s c d 
um ihre erste Spur in die Pr. Eb. E i um 
gelegt und das Dreieck s c d in wahrer Ge 
stalt gezeichnet werden, woraus sich schliess 
lich die Projektionen der noch fehlenden 
Ecke c oder d konstruieren lassen. 
Auflösung d. Seien etwa gegeben 
die Seitenflächen abs, a d s und bcs, 
so ergibt sich 
im Fall « mittels der Höhe wie früher der 
Winkel der Grundfläche mit Ebene a b s. 
Durch die beiden übrigen gegebenen Seiten 
flächen bestimmen sich nun die Lage der 
Grundkanten bc und ad (Dreikant b [ba,bc, 
/>s] und a [ab, ad, es] nach dem dritten Drei- 
kantsfall, siehe Aufgabe 2 und 3, konstruierbar) 
und damit auch die Lage der Punkte c und d. 
In den Fällen ß, y, o ermittelt man aus 
den gegebenen Stücken unmittelbar die Höhe 
der Pyramide, alles Weitere wie im Fall a. 
Im Falle ß ist der Winkel einer der ge 
gebenen Seitenflächen mit der Grundfläche, im 
Falle y her Winkel einer der gegebenen Seiten 
kanten bekannt.