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Ueber die rechtwinklige Proportion des Dreikants. 
Erbl. 11. Sollen zwei verschiedene Drei 
kante mit den gegebenen Bestimmungs 
stücken vorhanden sein, so müssen die Punkte 
p, und p 2 ‘, siehe Figur 6, auf dem positiven 
Teile von T 2 sich befinden; denn läge etwa 
p z ' auf dem negativen Teile von T 2 , so besässe 
das dem Punkte p 1 entsprechende Dreikant nicht 
den Flächenwinkel B, sondern dessen Ergänzung 
zu 180°. 
Liegen nun die beiden Punkte p 2 und p 2 
über der X-Achse, d. h. auf dem p o s i t i n 
Teile von T 2 , so ist stets die Strecke s 2 p 2 
oder s 2 p 2 kleiner als die Strecke s 2 q, d. h. 
der Punkt q fällt ausserhalb des Kreis es K. 
Fällt man von s 2 eine Senkrechte s 2 1) auf 7’,, 
so muss, damit ein Punkt p überhaupt 
vorhanden ist, stets die Strecke s 2 p\ 
entweder grösser oder mindestens ebenso 
gross seiu als die Strecke s 2 tp 
Erbl. 12*. Auf trigonometrischem Wege ist 
es leicht, die Bedingungen herzulciten, unter wel 
chen die Bestimmungsstücke gegeben sein müssen, 
damit Dreikante vorhanden sind. Bezeichnet man 
Fall b. Auflösung und Konstrubtion. 
Die Projektionsebenen sind wie im Fall 
a) zu wählen, siehe Figur 6. Mittels der 
Spur B i der Ebene BC und dem Win 
kel B ergibt sich die zweite Spur T 2 der 
Ebenere, auf welcher die zweite Projektion p 2 
des Punktes p der Kante C liegen muss. 
Zur Konstruktion von T 2 benützt man 
zweckmässig den Punkt s 2 als erste Pro 
jektion x t eines Punktes x der Ebene BG und 
bestimmt mittels des Konstruktionsdreiecks 
x t ?x 2 (xj = x i p') die zweite Projektion x 2 
des Punktes x. Ein um s 2 mit dem Halb 
messer s 2 p‘ beschriebener Kreis K liefert auf T 2 
entweder zwei Punkte p 2 und^> 2 ' oder nur 
einen Punkt oder endlich gar keinen 
Punkt. 
Es giebt höchstens zwei der Form nach von 
einander verschiedene Dreikante mit den ge 
gebenen Bestimmungsstücken. Zu jedem der 
selben gehört ein, bezüglich der Ebene AB 
(Pr. Eb. E t ) symmetrisches D r e i k a n t. 
nämlich die Strecke s ± s 2 als die Längeneinheit, 
so stellen die Strecken s„p‘ und s 2 q die trigono 
metrischen Tangenten, siehe Erkl. 109, 
I. Teil, der Winkel AC und BC oder 
deren Nebenwinkel dar. Damit also der 
Punkt q ausserhalb des Kreises K falle, 
ist es notwendig, dass tgAZ? j>tg AC sei. 
Bezeichnet man ferner mit <p den Win 
kel der zweiten Spur 1\ mit der Af-Achse, 
so erhält man unmittelbar folgende Be 
ziehungen : 
Es ist: 
—, ——r- , py, sin AC' 
s 2 p—s 2 p 2 — s zPi — lgAC = s — 
cos A C 
siehe Erkl. 110j I. Teil. 
Ferner ist: 
s 2 q = tg Aß. 
und 
s 2 i — sin AB. 
Desgleichen hat man: 
s 2 x 2 = s 2 i‘. tgß = s 2 i 
ebenso: 
tgB=sinALß.tg#, 
s 2 x 2 sin AZ?, tg 7? 
s 2 q C ‘ tg AB 
Nun ist aber: 
tg <P = - 
= cos Aß . tg ß 
sin <p 
cos <p 
sin AZ?. tgZ? 
sin AB 
cos AB 
. . . 1) 
Figur 6. 
• N \ 
N \ 
* \\ 
* \ \ 
und 
sin 2 tp 
COS 2 tp 
tg 2 cp = 
sm 2 tp 
1 — sin 2 tp