Lösung der sechs Fundamentalaufgaben über das Dreikant.
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.. , sin *AJ3 , . , sin 2 M2? . sin Li. (1 — sin 2 (7)
1 -i • (1 — snrM I = A
1 — sin 2 A.B ' sin 2 C
(l + sin 2 Aß — sin 2 li? — sin 2 AB . sill 2 A). sin 2 C = sin 2 Ai? . sin 2 J. — sin 2 AZ?. sin 2 A. sin 2 C
oder:
sin 2 c — sin'Aß . sin 2 ii . sin 2 C — sin 2 Ai? . sin 2 A — sin 2 A)?. sin 2 l . sin 2 C’,
woraus folgt:
sin 2 1) = sin 2 AJ5 . sin 2 A
oder: sin C = sin AB . sin C . . . . 12)
Ist daher:
sin G ^> sin AB . sin A,
so sind zwei Dreikante yorhanden.
Erkl. 14. In einem rechtwinkligen Dreieck
nennt man das Yerhältnis der einem Winkel
anliegenden Kathete zur gegenüber
liegenden die trigonometrische C o -
tangente, siehe Erkl. 15, (in Zeichen: ctg.
lies: cotangens) dieses Winkels.
Zwischen der trigonometrischen Tangente und
Cotangente eines Winkels findet stets die Be
ziehung statt, dass der Wert der einen gleich
ist dem reciprokcn Wert der anderen,
siehe Erkl. IG. Heisst demnach ein Winkel:
C, so ist stets:
tg C = 1 - J - oder: ctg C = —
ctg C tgC
(Siehe Kleyers Lehrbuch der ebenen Trigonometrie
und Goniometrie.)
, Figur 8.
Erkl. 15. Das Wort : cotangens ist die Ab
kürzung von complementi tangens und bedeutet
die Tangente für den Complementswinkel.
Fall b. Auflösung. Legt man den gegebe
nen Seitenwinke] AB wie bisher in die Pr.Eb.F^,
so erhält man wieder mittels des Flächen
winkels A die zweite Spur C 2 der Ebene AG
bezw. die zweite Projektion der Kante C und
man bat nur durch die Gerade B eine Ebene
unter dem Winkel C gegen die Ebene AC
geneigt zu legen, um in deren Schnitt mit
Ebene AC die Kante C zu erhalten. Zu diesem
Zwecke erhält man folgende
Konstruktion. Fälle, siehe Figur 8,
von q die Senkrechte qx 2 zu C 2 uud nehme
diese Linie als Achse eines senkrechten Kreis
kegels, dessen Mantellinien mit Ebene AC
den gegebenen Flächenwinkel C einschliessen,
so trifft dieser Kegel die Ebene A C nach
einem Kreise mit dem Mittelpunkt x
und einem Halbmesser gleich der
Kathete eines rechtwinkligen Drei
ecks mit der einen Kathete qx 2
und dem derselben gegenüberliegen
den Winkel C oder 180°— C, je
nachdem der gegebene Winkel C
spitz oder stumpf sein soll. Erste-
res sei vorausgesetzt.
Durch Umlegung der Ebene AC
in die Pr. Eb. E t gelangt der
Punkt x nach x‘ und der eben
genannte Kreis fällt zusammen mit
dem um x‘ mit dem Halbmesser x 2 y
beschriebenen Kreise K‘. Die von s,
aus an K‘ gezogenen Tangenten be
zeichnen die umgelegten Schnittlinien
der Ebene AC mit den durch B
gehenden, unter dem Winkel C zu AC
geneigten Ebenen.
Im vorliegenden Fall ist, da Winkel C der
Voraussetzung nach spitz sein soll, nur die
nicht zwischen den Linien s L x‘ und s t s 2
