lieber die rechtwinklige Projektion eines Körpers im allgemeinen.
23
Erkl 23. Nebenstehende Antwort enthält
folgende Sätze:
„In jeder rechtwinkligen Projek-
tion eines Polyeders ist die Zahl
der sichtbaren (unsichtbaren) Ecken
und Flächen gleich der Zahl der
sichtbaren (unsichtbaren) Kanten
vermehrt um die Einheit.“
„In jedem Polyeder ist die Zahl
der Ecken und Flächen gleich der
Zahl der Kanten, vermehrt um zwei.“
Erkl. 23*. Der in Erkl. 23 zuletzt genannte
Satz rührt von dem berühmten Mathematiker
„Euler“ her und heisst der „Euler’ sehe
Lehrsatz über Polyeder.
(Siehe auch Kleyers Lehrbuch der Körperberechnungen,
erstes Buch, Frage 14 und Erkl. 11 a.)
Erkl. 24. ■. Soll ein Polyeder mit e Ecken,
f Flächen und k Kanten durch seine Projek
tionen auf die Pr. Ebn. E t und E 2 dargestellt
werden, so sind zur Zeichnung eine gewisse
Anzahl von Bestimmungsstücken notwendig.
die doppelte Seitenzahl der innerhalb des
Umrisses sichtbaren Kanten, d. i. (k i — n). 2
hinzufügt, so dass die folgende Gleichheit
besteht:
x,+x^x 3 +. -.x p — n-\-(h v -n). 2 = 2k l — n.. .13)
Nun beträgt aber die Winkelsumme in
einem Vielecke n t von der Seitenzahl x l
(x i — 2). 180°, siehe Erkl 22, somit ist die
Summe aller Winkel in sämtlichen Vielecken
bis n r :
180°. (x l ■+■ x 2 + x 3 + . . . X p 2 f t )
oder in Kücksicht auf Gleichung 13 :
180°. (2fr t — n — 2f v ) . . 14)
Genannte Winkelsumme erhält man aber
auch als Summe der Winkel des Umriss
vielecks n, wozu noch die Summe der um die
innerhalb des Umrisses liegenden e t — n Ecken
herumliegenden Winkel hinzuzurechnen ist.
Für diese Summen findet man:
180°. (n — 2) + K — n). 360" . . 15)
Durch Gleichsetzen der Beziehungen 14 und 15
ergibt sich die weitere Gleichheit:
180°. (n- 2)+(e t -») .2.180°=180°. (2k-n-2f i )
oder:
n — 2 + 2e t — 2 n = 2k x — n — 2f t
e, — l= k t — /;
+ fi = + 1 • • 16)
Sind in gleicher Weise durch /* tl , e tl undfc lt
die Anzahl der unsichtbaren Flächen-,
Ecken- und Kantenprojektionen be
zeichnet, so ergibt sich durch eine ähnliche
Untersuchung, wie die eben geführte, die
weitere Beziehung:
e n + fu = + 1 • • 17)
Durch Addition der Beziehungen 16 und 17
gewinnt man endlich die Gleichheit:
e i + e it +/n 4- f it == t + 2
oder:
6 + f = k -p 2 . • 18)
wenn durch e, f und k die Anzahl der Ecken,
Flächen und Kanten eines Polyeders be
zeichnet werden.
Die Beziehungen 16, 17 und 18 können als
Sätze wie in nebenstehender Erkl. 23 an
gegeben, ausgedrückt werden.