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Ueber die rechtwinklige Projektion von Körpern.
Erkl. 33. Die beiden Grundflächenprojek
tionen des Prismas stehen in affiner Beziehung
zu einander mit der Geraden .5, als Affi
nitätsachse und der Projektion der Rich
tung der Seitenkant.en als Affinitäts
richtung. Aber nicht nur die Projektionen,
sondern auch die räumlichen Figuren sind
affin und zwar ist hier die Affinit ätsachse
die Schnittlinie beider Grundflächen-
eb enen, die Affinitätsrichtung die Rich
tung der Seitenkanten. Da überdies die beiden
Grundflächen als ganz beliebige Abgrenzungen
der Prismas genommen werden können, so findet
dieser affine Zusammenhang zwischen
irgend zweien Prismen schnitten und
deren Projektionen statt, welche Eigenschaft
als Satz, wie folgt, ausgedrückt werden kann:
„Zwei beliebige ebene Schnitte und
deren Projektionen eines Prismas
a u f e i n e Ebene sind affine Figuren b e-
züglich der Schnittlinie beider Ebenen
bezw. deren Projektion als Affinitäts
achse und der Seitenkantenrichtung
bezw. deren Projektion als Affinitäts
richtung.“
Erkl. 34. Nicht nur die beiden in Erkl. 38
genannten Figuren sind affin, sondern es entspricht
jedem Punkte der Ebene der einen Figur je ein e i n-
ziger Punkt affin der Ebene der zweiten
Figur, d. li. die Gesamtheit der Punkte und Linien
der einen Ebene entspricht der Gesamtheit der
Punkte und Linien der anderen Ebene in ganz
bestimmter Weise, und zwar so, dass ent
sprechende Punkte parallele Verbindungs
linien, entsprechende Ger ade Schnitt
punkte auf der Affinitätsachse liefern.
Erkl. 35. Le gt man die obere Grundfläche
des Prismas um ihre Spur N, nach /°<7 0 /t°i ü jfc 0
in die Pr. Eb. Ei um, so ist ersichtlich, dass
die Umlegungen der Begrenzungen gleichfalls
durch die Punkte s u t u w,, v, gehen und ausser
dem die Beziehungen stattfinden:
*A __ Sji
s l c l s t h t
zufolge des Parallelismus der Linien 6,/ 1 , und t\ 6,
ebenso:
±J\ =
zufolge des Parallelismus der Linien t\f" und h x h°.
Es gilt somit auch die Gleichheit:
c\ s x h°
woraus der Parallelismus der Verbindungslinien
bif° und c\ h 11 folgt.
In gleicher Weise Hesse sich auch zeigen, dass
die sämtlichen Verbindungen a x g°, e x k u , d x 2° ...
zu einander parallel laufen, d. li. dass die in
der Pr. Eb. liegende Grundfläche und
züglichen Spur als Affinitätsaclise (siehe
Erkl. 93—95, I. Teil), so gehen die Projek
tionen f\ h t und f x g x in der Verlängerung
durch die Schnittpunkte s, und t x der ent
sprechenden Geraden f“h“ und f‘g‘ mit den
bezüglichen Affinitätsachsen b x c x und 6,0,.
Dadurch sind aber zugleich die Punkte 6,
und g l bestimmt. Man kennt nun von der
oberen Grundfläche die Projektionen dreier
Punkte g, f und h, sowie die Spur s, f, oder
S, ihrer Ebene. Ausserdem ist in der Ver
bindungslinie der Punkte 6 und f die Richtung
der Prismakanten gegeben und es Hessen sich
nun die Punkte k und i als Schnittpunkte
der durch e und d gehenden Prismenkanten mit
der Ebene der oberen Grundfläche konstruieren.
Berücksichtigt man aber, dass die Linien
hi und gk auch den Seitenflächen des Pris
mas mit den Spuren c, d x und a x e x angehören,
so erhält man von diesen Linien unmittelbar
je einen Punkt in den Schnittpunkten u x und t\
der Schnitte c x d x und a i e l mit der Spur S t .
Die Punkte i x und fr, ergeben sich somit im
Schnitt der Linien 6,-u, und g x v x mit den
Parallelen durch d x und e x zur Projektion 6, /*,
der Richtung der Seitenkanten des Prismas.
Die zweiten Projektionen konstruiert man
direkt aus der ersten.
Zur genaueren Bestimmung dieser zweiten
Projektionen, bezw. als Probe für die Genauig
keit der Zeichnung benützt man zweckmässig
die zweiten Projektionen s 3 , t 2 , v 2 , v., auf der
X-Achse, so liegt z. B. der Punkt /?, auf der
Linie f z s z etc.
Behufs Bestimmung des Netzes des Pris
mas legt man dessen Seitenflächen um
ihre ersten Spuren in die Pr. Eb. E x um,
welche Umlegung vorgenommen werden kann,
ohne Benützung der zweiten Pro
jektion, wenn man berücksichtigt, dass die
Umlegungen von zwei aneinanderstossenden
Seitenflächen je eine gl eich lange Seiten
kante besitzen, sowie dass Umlegung und
Projektion in affiner Beziehung stehen.
So liegt auf der Senkrechten durch y x zu
o, e x der Punkt g“‘ derart, dass a, g‘“ — a x g‘ ist
und g“‘ k‘“ durch v t geht; hiedurch ist der
Punkt k‘“ (kik‘" senkrecht zu ege,) und damit
zugleich der Punkt k‘“‘ bestimmt; das Weitere
ist aus der Figur ersichtlich.
Denkt man sich ferner die obere Grund
flächenebene in fester Verbindung etwa mit
der Seitenfläche bchf und mit dieser in die
Pr. Eb. E t umgelegt, so kommt das Dreieck
s i ft i nach s x f“t 0 , so dass f“t 0 — f‘ i, und
s, t 0 — s x f, zu machen ist. Ueberträgt man
ebenso die Punkte w, und i\ nach u u und v 0
(V^o ~ s i s i = s i *0» so lässt sicl ‘