('eher die rechtwinklige Projektion von Pyramiden und Prismen. 
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Figur 80. 
Erkl. 30. Die Herleitung des in neben 
stehender Auflösung d angegebenen Ausdrucks 
für m z m 2 ‘ kann wie folgt geschehen: Zunächst 
sind, wenn man die Strecken § x a 2 ' — y, % x ct 2 — x, 
lässt sich mittels des Winkels w‘ das Dreieck 
6 t ° s 0/ als Umiegung einer Seitenfläche 
dieser Hilfspyramide bestimmen, deren Höhe 7i„ 
aus s 0 0/ und s t ° bestimmbar ist. Aus der 
Beziehung: 
h s i a i 
h° s i °a i 0 
ergibt sich die Höhe der gesuchten Pyramide. 
(Es ist a 2 s 2 parallel a 2 ° s 2 °.) 
* Der Punkt •*, 0 = erste Projektion der Spitze 
der Hilfspyramide fehlt in der Figur 80. 
Auflösung c. Mittels einer zur gesuchten 
Pyramide ähnlichen Pyramide lässt sich die 
Aufgabe auf den Fall d der Aufgabe 15) zurück 
führen. Der Uebergang zur gesuchten Pyra 
mide geschieht wie in vorstehender Auflösung b. 
Auflösung d. Denkt man sich die Pyra 
mide konstruiert und die Mittelpunkte m 
und m‘ der beiden in der Aufgabe genannten 
Kugeln konstruiert, so liegt m, in der Halbier 
linie des Winkels W lf m 2 ‘ auf der senkrechten 
Halbierlinie der Strecke s. 2 a 2 ‘, sowie auf der 
Pyramidenachse. 
Zwischen den Halbmessern r und E, sowie 
dem Abstande m. 2 m 2 ‘ der beiden Mittelpunkte 
findet nun folgende Beziehung statt: 
m,m,' = z und das Verhältnis — = V bezeich- 
y 1 
net, folgende Beziehungen unmittelbar aus der 
Figur abzulesen: 
E 2 - (r + zf = y 2 ... . 21) 
r _- Ä a - - . . 22) 
E + z (R + r + z) z + x 2 
siehe Erkl. 175 I. Teil. 
Nun ist aber: 
X = p.y 
Daher wenn man beide Seiten der Gleichung 22 
quadriert und den eben gefundenen Wert für x 
einsetzt: 
r 2 _ _ P 2 • y 3 
(.E + z) 2 (R + r + zj 2 + p 2 . y 2 
welche Gleichung übergeht in folgende: 
r 2 .(R+r+z) 2 -{-r 2 .p 2 .y 2 = p 2 . y 2 . (R + z) 2 , 
oder: 
p 2 . y 2 . ((22 + z) 2 — r 2 ) — r 2 .(R + r + z) 2 , 
oder: 
_ r 2 .(R + r + z) 2 
P 2 ■ ((E + z) 2 r* * * § ) 
r 2 .(R+r+z). (R+r+z) 
— p 2 .(R+z+rj. (R+z-r) 
r 2 .(R + r + z) 
p 2 . (R + z — r) 
7», 77?,' 2= 
\/(E — r) 2 - 
. 20) 
worin p das Verhältnis der Halbmesser der 
einem regelmässigen n-Eck ein- und um 
beschriebenen Kreise, im vorliegenden Falle 
§ a 2 
also das Verhältnis bezeichnet, siehe 
§.r« 2 ' 
Erkl. 39. 
Kennt man nun die Länge m. 2 m. 2 ‘, so kann 
man hieraus mit Bezug auf das rechtwinklige 
Dreieck m 2 ‘§ x a 2 ‘ den Halbmesser § v a 2 ‘ des 
dem Vieleck der Grundfläche umschriebenen 
Kreises und damit die Grundfläche selbst 
konstruieren. Mit Kücksicht auf die Glei 
chung m 2 ‘ s. 2 gleich R ist dann auch die 
Pyramidenspitze gegeben. 
Die Konstruktion der Pyramide ist immer 
durchführbar, wenn die Grundfläche durch 
ein regelmässiges Vieleck gebildet ist, dessen 
Seite aus dem, dem Vieleck umschriebenen 
Kreise geometrisch konstruiert werden 
kann, denn in diesem Falle ist auch der Wert 
des Verhältnisses p bestimmbar. 
Ist z. B. das Vieleck ein Sechseck, so er 
gibt sich, wie aus der Figur 30 ersichtlich ist, 
das Verhältnis p wie folgt: 
siehe Erkl. 40.