Zusammenhang zwischen d. Punkten einer Raumgrösse u. deren centralen Projektionen. 113 
Frage 63. Besteht zwischen den in den 
Erkl. 107 bis 109 genannten Gebilden: Ebenes 
System, Bündel und räumliches System 
gleichfalls eine projektive Beziehung 
und welche? 
Erkl. 110. Nimmt man den ganzen un 
endlichen Raum als geometrische Raum 
grösse, welche man ein räumliches System 
nennen kann, so lässt sich das räumliche 
System auffassen als der Inbegriff sämtlicher 
ebenen Systeme, bezw. Bündel, d. h. 
sämtlicher Punkte, Geraden und Ebenen 
des Raumes. Jeder Punkt des Raumes ist 
Mittelpunkt eines Bündels, jede Ge 
rade ist Träger einer Punktreihe 
oder Achse eines Ebenenbüschels, 
jede Ebene Träger eines ebenen 
Systeme s. 
Erkl. 111. Die in der vorhergehenden Erkl. 
genannten sechs Gebilde :Punktreihe,Strahl 
büsch el,Ebenenbüsch el,ebenesSystem, 
Strahlen - oderEbenenbündel, räumliches 
System heissen die sechs Grundgebilde 
der Geometrie. 
Man bezeichnet dabei die Grundgebilde: 
Punktreihe, Strahlbüschel und Ebenen 
büschel als Grundgebilde der ersten 
Stufe; die Grundgebilde: Ebenenbüschel 
und Ebenenbündel oder Strahlenbündel 
als Grundgebilde der zweiten Stufe, 
endlich das räumliche System das Grund 
gebilde der dritten Stufe. 
Die drei ersten Gebilde, d. h. die Grund 
gebilde der ersten Stufe besitzen als 
Elemente lediglich: Punkt, Gerade und 
Ebene, die Grundgebilde der zweiten 
Stufe besitzen als Elemente nicht nur die 
eben genannten Raumgrössen, sondern 
auch noch die Punktreihe ufld das Strahl 
büschel. Das Grundgebilde der dritten 
Stufe endlich besitzt als Elemente nicht 
nur Punkte, Geraden und Ebenen, sondern 
auch die Grundgebilde der ersten und 
der zweiten Stufe. 
Antwort. In gleicher Weise wie man 
Punktreihe, Strahlbüscliel und Ebenen 
büschel projektiv auf einander beziehen 
kann, lässt sich dies auch mit den in Frage 63 
genannten Gebilden vornehmen. So kann man 
z. B. ein Strahlenbündel durch mehrere 
nicht durch dessen Mittelpunkt gehenden 
Ebenen schneiden und erhält hierdurch in 
jeder Schnittebene ein ebenes System und 
diese Systeme stehen in der Beziehung zu ein 
ander, dass jedem Punkte des einen Systems 
ein Punkt, jeder Punktreihe wieder eine 
Punktreihe, jeder Geraden wieder eine 
Gerade, endlich jedem Strahlbüschel 
wieder ein Strahlbüschel projektiv in 
perspektivischer Lage d. h. centrisch-col- 
linear in jedem Systeme entspricht. Zwei 
oder mehrere in dieser Weise aufeinander 
bezogene ebene Systeme nennt man pro 
jektiv in perspektivischer Lage oder 
auch centrisch-collinear. Lässt man 
den projektiven Zusammenhang zwischen 
den ebenen Systemen bestehen, dreht sie 
aber beliebig im Raume, so bleiben die 
Systeme projektiv, oder collinear, be 
finden sich aber nunmehr in allgemeiner 
Lage. Desgleichen ist auch das proji 
zierende Bündel projektiv auf das 
ebene System bezogen, denn jedem Strahle 
des Bündels entspricht ein Punkt, jedem 
Strahlbüschel eine Punkt reihe, jeder 
Ebene eine Gerade, jedem Ebenen 
büschel ein Strahlbüschel projektiv 
in perspektiver Lage oder centrisch- 
collinear im ebenen System. 
Lässt man den genannten projektiven 
Zusammenhang ungeändert, dreht aber das 
ebene System oder das Bündel oder 
beide zugleich beliebig gegeneinander, so 
bleiben die genannten Gebilde projektiv 
oder collinear, befinden sich aber nunmehr 
in allgemeiner Lage. 
Verbindet man ein ebenes System mit 
zweien nicht in der Ebene des Systemes 
befindlichen Punkten, so erhält man 
zwei Strahlenbüschel derart, dass jedem 
Strahle des einen Bündels wieder ein 
Strahl, jedem Strahlbüschel wieder ein 
Strahlbüsch el, endlich jedem Ebenen 
büschel wieder ein Ebenenbüschel pro 
jektiv in perspektivischer Lage ent 
spricht. Zwei derart auf einander bezogene 
Strahlbündel heissen dann selbst pro 
jektiv in perspektivischer Lage. 
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Yonderlinn, Das Projohtionszeiclmen. III. Teil.