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Ueber die Centralprojektion. 
Kennt man somit einen Satz über das 
Dreieck, so lässt sich stets ein ent 
sprechender reciproker Satz über das 
Dreikant aussprechen. So stehen z. B. die 
folgenden beiden Sätze einander reciprok 
gegenüber: 
„Zwei Dreiecke abc und a'b'c', deren 
entsprechende Seiten a b, a‘ b‘, ac, a‘ c‘, 
bc, b'c' sich in Punkten einer Geraden 
schneiden, liegen so, dass die Ver 
bindungslinien na', bb‘, cc‘ durch einen 
festen Punkt gehen.“ 
„Zwei Dreikante $ (ABC) und s' (A'B'C 1 ), 
deren entsprechende Kanten A und A‘, 
B und B', C und C‘ in dreien Ebenen 
liegen, die sich nach derselben Ge 
raden s«' schneiden, liegen so, dass die 
Verbindungslinien der Schnittpunkte 
von A und A‘, B und B‘, C und C‘ einer 
Ebene angehören.“ 
Erkl. 114. Hat man irgend eine Ilaum- 
grösse, z. B. einen Körper, so lässt sich 
zu demselben stets ein zweiter Körper denken, 
der dem ersten reciprok entspricht, wenn 
man nur den Ecken des ersten Körpers 
ebensoviele Ebenen reciprok entsprechen 
lässt. Der reciproke Körper zu einem ge 
gebenen besitzt also stets so viele Be grenz ungs- 
flächen als der ursprüngliche Körper 
Ecken hat; die Zahl der Kanten ist in 
beiden Körpern gleich, siehe auch Erkl. 91, 
II. Teil. 
G) Ueber die harmonische Teilung. Harmonische Gebilde. 
Frage 64. Gibt es unter den Werten der 
Doppel Verhältnisse von vier Punkten, 
Strahlen oder Ebenen solche, welchen 
eine besondere Wichtigkeit beizulegen 
ist und welche Werte sind dies? 
Erkl. 115. Vier Punkte, Strahlen oder 
Ebenen, bei welchen der in Antwort der 
Frage 64 gebildete Zusammenhang besteht, 
heissen harmonisch. Man spricht also von 
vier harmonischen Punkten, Strahlen 
und Ebenen und nennt die Teilung der 
Strecken oder des Winkels zweier Ge- 
r a d e n der Ebenen in der in Antw. der 
Frage 64 genannten Art eine harmonische 
Teilung. 
Erkl. 116. Für den Wert m = — 1 werden 
die übrigen fünf Werte, welche die mit vier 
Antwort. Unter den Doppelverhältnissen, 
welche mit den Elementen: Punkt, Ge 
rade und Ebene gebildet werden können, 
verdient besonders jenes Doppel Verhältnis 
eine besondere Beachtung, das einen Wert 
gleich der negativen Einheit besitzt, für 
welche demnach die Gleichheit besteht: 
(ab, ccl) — (AB, CD) = (aß, y o) = — 1 ... 47) 
Betrachtet man zunächst das Doppelver- 
hältnis von vier Punkten etwas näher, so 
kann man die Gleichung (ab, cd) — — 1 auch 
so schreiben: 
a c 
H- = -i 
ad , 
W 
oder 
ac ad ac da 
Tc ~ b d~ ~ Tc ~ bd 
Die Gleichung 48 sagt, dass die vier 
Punkte a, b, c, d, deren Doppelver-